Đề bài
Câu 1:
Hãy chọn kết quả đúng. Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có độ dài \[AB = 5cm\], đường cao \[AH = 4cm\] [h.57].
a] Độ dài của \[BH\] là:
A. \[3,5\]
B. \[4\]
C. \[3\]
D. \[3,2\]
b] Độ dài của \[HC\] là:
A. \[\dfrac{8}{3}\]
B. \[\dfrac{{20}}{3}\]
C. \[\dfrac{{16}}{3}\]
D. \[\dfrac{{15}}{4}\]
c] Độ dài của \[AC\] là:
A. \[\dfrac{{20}}{3}\]
B. \[\dfrac{{25}}{3}\]
C. \[\dfrac{{25}}{{12}}\]
D. \[4\sqrt {\dfrac{5}{6}} \]
Câu 2. [7 điểm] Cho hình thang vuông \[ABCD\] \[\left[ {AB//CD} \right]\] có \[\widehat A = {90^0}\], cạnh \[BC\] vuông góc với đường chéo \[BD\], đường phân giác của góc \[BDC\] cắt cạnh \[BC\] tại \[I\]. Cho biết độ dài \[AB = 2,5cm\] và góc \[\widehat {ABD} = {60^0}\] [h.58]
a] Chứng minh rằng \[\Delta IDC\] là tam giác cân.
b] Tính độ dài của các cạnh \[BC,AD,DC\] và độ dài của phân giác \[DI\].
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp:
Sử dụng định lý Pi ta go trong tam giác vuông và tam giác đồng dạng để tính độ dài các cạnh.
Cách giải:
a] Tam giác \[AHB\] vuông tại \[H\] nên \[B{H^2} = A{B^2} - A{H^2} = {5^2} - {4^2} = 9\] \[ \Rightarrow BH = 3\].
Chọn C.
b] Xét tam giác \[AHB\] và \[CHA\] có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^0}\left[ {gt} \right]\]
\[\widehat {HAB} = \widehat {HCA}\] [cùng phụ với góc \[\widehat {CBA}\]]
\[ \Rightarrow \Delta AHB \backsim \Delta CHA\left[ {g.g} \right]\]
\[ \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{{HB}}{{HA}}\] \[ \Rightarrow HC = \dfrac{{H{A^2}}}{{HB}} = \dfrac{{{4^2}}}{3} = \dfrac{{16}}{3}\]
Chọn C.
c] Ta có: \[BC = BH + HC = 3 + \dfrac{{16}}{3} = \dfrac{{25}}{3}\]
Áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông \[ABC\] có:
\[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\] \[ = {\left[ {\dfrac{{25}}{3}} \right]^2} - {5^2} = \dfrac{{400}}{9}\] \[ \Rightarrow AC = \dfrac{{20}}{3}\]
Chọn A.
Câu 2:
Phương pháp:
a] Chứng minh tam giác \[IDC\] có hai góc \[\widehat {IDC} = \widehat {ICD}\] và suy ra \[IC = ID\].
b] Sử dụng các tam giác đồng dạng và định lí Pi ta go để tính toán.
Chú ý kết quả: Tam giác vuông có một góc bằng \[{30^0}\] thì cạnh đối cửa góc bằng nửa cạnh huyền.
Cách giải:
a] Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có:
\[\widehat {ABD} + \widehat {ADB} = {90^0}\] [hai góc nhọn trong tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^0} - \widehat {ABD}\] \[ = {90^0} - {60^0} = {30^0}\]
\[ \Rightarrow \widehat {BDC} = \widehat {ADC} - \widehat {ADB}\] \[ = {90^0} - {30^0} = {60^0}\]
\[ \Rightarrow \widehat {IDB} = \widehat {IDC} = \dfrac{{\widehat {BDC}}}{2}\] \[ = \dfrac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\] [1]
Tam giác \[BDC\] vuông tại \[B\] có \[\widehat {BDC} + \widehat {BCD} = {90^0}\] [hai góc nhọn trong tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \widehat {BCD} = {90^0} - \widehat {BDC}\] \[ = {90^0} - {60^0} = {30^0}\] hay \[\widehat {ICD} = {30^0}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat {IDC} = \widehat {ICD}\] nên tam giác \[ICD\] cân tại \[I\]
\[ \Rightarrow ID = IC\] [đpcm].
b] Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] có \[\widehat {ADB} = {30^0}\] nên \[AB = \dfrac{1}{2}BD\]
\[ \Rightarrow BD = 2AB = 2.2,5 = 5\left[ {cm} \right]\]
Áp dụng định lí Pi ta go ta có:
\[A{D^2} = B{D^2} - A{B^2}\] \[ = {5^2} - 2,{5^2} = \dfrac{{75}}{4}\] \[ \Rightarrow AD = \sqrt {\dfrac{{75}}{4}} \approx 4,33\left[ {cm} \right]\]
Tam giác \[BDC\] vuông tại \[B\] có \[\widehat {BCD} = {30^0}\] nên \[BD = \dfrac{1}{2}DC\]
\[ \Rightarrow DC = 2BD = 2.5 = 10\left[ {cm} \right]\]
Áp dụng định lí Pi ta go ta có:
\[B{C^2} = C{D^2} - B{D^2} = {10^2} - {5^2} = 75\] \[ \Rightarrow BC = \sqrt {75} \approx 8,66\].
Ta có: \[\dfrac{{IB}}{{IC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}\] \[ \Rightarrow IC = 2IB\]
Mà \[IC + IB = BC = 8,66\] \[ \Rightarrow 2IB + IB = 8,66\] \[ \Rightarrow 3IB = 8,66 \Rightarrow IB \approx 2,89\]
Áp dụng định lí Pi ta go ta có:
\[D{I^2} = D{B^2} + B{I^2} = {5^2} + 2,{89^2}\] \[ \Rightarrow DI = \sqrt {{5^2} + 2,{{89}^2}} \approx 5,78\left[ {cm} \right]\].