Phương trình ax2+bx + c = 0 có nghiệm khi nào
I. Định nghĩa Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx +c = 0 trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0 II. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) Δ = b2 – 4ac *) Nếu Δ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a};{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\] *) Nếu Δ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b}{2a}\,\] *) Nếu Δ < 0 phương> III. Công thức nghiệm thu gọn Phương trình bậc hai ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b’ Δ’ = b’2 – ac *) Nếu Δ’ > 0 phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{x}_{1}}=\frac{-b'+\sqrt{\Delta '}}{a};{{x}_{2}}=\frac{-b'-\sqrt{\Delta '}}{a}\] *) Nếu Δ’ = 0 phương trình có nghiệm kép: \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{-b'}{a}\] *) Nếu Δ’ < 0 phương> IV. Hệ thức Viet và ứng dụng 1. Nếu \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) thì: 2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phương trình: x2 – Sx + P = 0 (Điều kiện để có u và v là S2 – 4P ≥ 0) 3. Nếu a + b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=1;{{x}_{2}}=\frac{c}{a}\] Nếu a – b + c = 0 thì phương trình ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-\frac{c}{a}\] V. Các bộ điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn đặc điểm cho trước Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0 2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0<> 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0 5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ Δ ≥ 0 và P > 0 6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0 7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0 8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0 9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0 10. Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0 B. Một số bài tập có lời giải Bài 1. Giải các phương trình sau: a) \[2{{x}^{2}}-8=0\] b) \[3{{x}^{2}}-5x=0\] c) \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\] d) \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\] e) \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\] f) \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\] Giải a) \[2{{x}^{2}}-8=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2\] Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 2\] b) Vậy phương trình có nghiệm \[x=0;x=\frac{5}{3}\] c) \[-2{{x}^{2}}+3x+5=0\] \[\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-5=0\] Nhẩm nghiệm: Ta có: a – b + c = 2 + 3 – 5 = 0 => phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}}=-1\]; \[{{x}_{2}}=-\frac{5}{-2}=\frac{5}{2}\] d) \[{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2x-6=0\] \[\Leftrightarrow \left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)-\left( 2x+6 \right)=0\] \[\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-2 \right)=0\] e) \[{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-4=0\] Đặt \[t={{x}^{2}}\left( t\ge 0 \right).\] Ta có phương trình: \[{{t}^{2}}+3t-4=0\] a + b + c = 1 + 3 – 4 = 0 => phương trình có nghiệm: \[{{t}_{1}}=1>0\] (thỏa mãn); \[{{t}_{2}}=-\frac{4}{1}=-4<0\]> Với: \[t=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1\] Vậy phương trình có nghiệm \[x=\pm 1\] f) \[\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\] TXĐ: x ≠ 2, x ≠ 5 \[\Leftrightarrow \frac{\left( x+2 \right)\left( 2-x \right)}{\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)}+\frac{3\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)}{\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)}=\frac{6\left( x-5 \right)}{\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)}\] \[\Rightarrow \left( x+2 \right)\left( 2-x \right)+3\left( x-5 \right)\left( 2-x \right)=6\left( x-5 \right)\] \[\Leftrightarrow 4-{{x}^{2}}+6x-3{{x}^{2}}-30+15x=6x-30\] \[\Leftrightarrow -4{{x}^{2}}+15x+4=0\] \[\Delta ={{15}^{2}}-4.\left( -4 \right).4=225+64=289>0;\sqrt{\Delta }=17\] => phương trình có hai nghiệm: \[{{x}_{1}}=\frac{-15+17}{2.\left( -4 \right)}=-\frac{1}{4}\] (thỏa mãn ĐKXĐ) \[{{x}_{2}}=\frac{-15-17}{2.\left( -4 \right)}=4\] (thỏa mãn ĐKXĐ) Bài 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m: \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] (1) a/ Giải phương trình với m = – 2. b/ Gọi \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình. Tính \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2};x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\] theo m. c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9.\] d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\] e/ Tìm m để phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3.\] Tính nghiệm còn lại. f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào giá trị của m. HƯỚNG DẪN GIẢI. a/ Thay m = – 2 vào phương trình (1) ta có phương trình: \[{{x}^{2}}-2x+1=0\] \[\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=0\] \[\Leftrightarrow x-1=0\] \[\Leftrightarrow x=1\] Vậy với m = – 2 phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b/ Phương trình \[{{x}^{2}}+mx+m+3=0\] (1) Ta có: \[\Delta ={{m}^{2}}-4\left( m+3 \right)={{m}^{2}}-4m-12\] Phương trình có nghiệm: \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]\[\Leftrightarrow \Delta \ge 0\] Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: *) \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{\left( -m \right)}^{2}}-2\left( m+3 \right)={{m}^{2}}-2m-6\] *) \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)={{\left( -m \right)}^{3}}-3\left( m+3 \right)\left( -m \right)=-{{m}^{3}}+3{{m}^{2}}+9m\] c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\] Khi đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{m}^{2}}-2m-6\] Do đó \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-6=9\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m-15=0\] Δ’(m) = (-1)2 – 1.(-15) = 1 + 15 = 16 > 0 => phương trình có hai nghiệm: \[{{m}_{1}}=\frac{1+4}{1}=5\]; \[{{m}_{2}}=\frac{1-4}{1}=-3\] Thử lại : +) Với \[m=5\Rightarrow \Delta =-7<0\]> loại. +) Với \[m=-3\Rightarrow \Delta =9>0\] => thỏa mãn. Vậy với m = – 3 thì phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=9\] d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\Leftrightarrow \Delta \ge 0\] Khi đó theo định lý Vi-et, ta có: Hệ thức: \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5\] (c) Từ (a) và (c) ta có hệ phương trình: Thay vào (b) ta có phương trình:\[\left( -3m-5 \right)\left( 2m+5 \right)=m+3\] \[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-15m-10m-25=m+3\] \[\Leftrightarrow -6{{m}^{2}}-26m-28=0\] \[\Leftrightarrow 3{{m}^{2}}+13m+14=0\] \[{{\Delta }_{\left( m \right)}}={{13}^{2}}-4.3.14=1>0\] => phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=\frac{-13+1}{2.3}=-2,{{m}_{2}}=\frac{-13-1}{2.3}=-\frac{7}{3}\] Thử lại: +) Với \[m=-2\Rightarrow \Delta =0\] => thỏa mãn. +) Với \[m=\frac{-7}{3}\Rightarrow \Delta =\frac{25}{9}>0\] => thỏa mãn. Vậy với \[m=-2;m=-\frac{7}{3}\] phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn : \[2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}}=5.\] e/ Phương trình (1) có nghiệm \[{{x}_{1}}=-3\] \[\Leftrightarrow {{\left( -3 \right)}^{2}}+m.\left( -3 \right)+m+3=0\Leftrightarrow -2m+12=0\Leftrightarrow m=6\] Khi đó: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-m-{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-6-\left( -3 \right)\Leftrightarrow {{x}_{2}}=-3\] Vậy với m = 6 thì phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}={{x}_{2}}=-3\]. f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow ac<0\leftrightarrow> Vậy với m < – 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\]. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có : Vậy hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m là: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)-3=0\] Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x – 3 = 0 (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? Tìm nghiệm duy nhất đó? c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại (nếu có)? HƯỚNG DẪN GIẢI. a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ’=12 – (-3)(m-1) = 3m – 2 (1) có nghiệm ⇔ Δ’ = 3m-2 ≥ 0 \[\Leftrightarrow m\ge \frac{2}{3}\] + Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với \[m\ge \frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x – 3 = 0 \[\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\] (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: Δ’ = 1 - (-3)(m-1) = 3m - 2 (1) có nghiệm duy nhất ⇔ Δ’ = 3m-2 = 0 \[\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\] (thoả mãn m ≠ 1) Khi đó \[x=-\frac{1}{m-1}=-\frac{1}{\frac{2}{3}-1}=3\] +) Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất \[x=\frac{3}{2}\] Với \[m=\frac{2}{3}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 c) Do phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}}=2\] nên ta có: \[\left( m-1 \right){{2}^{2}}+2.2-3=0\Leftrightarrow 4m-3=0\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}\] Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do \[m-1=\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{4}\ne 0\]) Theo định lí Viet ta có: \[{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{-3}{m-1}=\frac{-3}{-\frac{1}{4}}=12\] ⇒ x2 = 6 Vậy \[m=\frac{3}{4}\] và nghiệm còn lại là \[{{x}_{2}}=6\] Bài 4. Cho phương trình: x2 - 2(m-1)x – 3 – m = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm d) Tìm m sao cho nghiệm số \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] của phương trình thoả mãn \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\] e) Tìm hệ thức liên hệ giữa \[{{x}_{1}}\] và \[{{x}_{2}}\] không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị \[{{x}_{1}}\] qua \[{{x}_{2}}\] Bài 5. Cho phương trình: x2 + 2x + m - 1= 0 (m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thỏa mãn \[3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}=1\] c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn \[{{y}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{2}}};{{y}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\]; với \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình ở trên Bài viết gợi ý: |