- LG a
- LG b
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
LG a
\[d:\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 1 \hfill \cr} \right.\] và
\[d':\left\{ \matrix{
x = {2 - 3t'} \hfill \cr
y ={ - 2 + 3t'} \hfill \cr
z = 3 \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
- Chứng minh d//d'
- Tính d[d,d']=d[M,d'].
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \[{M_1}\left[ {1; - 1;1} \right]\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_1}} = \left[ {1; - 1;0} \right]\].
Đường thẳng d đi qua điểm \[{M_2}\left[ {2; - 2;3} \right]\], có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {{u_2}} \left[ { - 1;1;0} \right]\]. Vì \[\overrightarrow {{u_1}} \] và\[\overrightarrow {{u_2}} \] cùng phương nhưng \[\overrightarrow {{u_1}} \];\[\overrightarrow {{u_2}} \] không cùng phương với \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left[ {1; - 1;2} \right]\] nên hai đường thẳng đó song song.
Vậy khoảng cách giữa d và d là khoảng cách từ \[M_1\][1, -1, 1] d đến đường thẳng d và bằng : \[d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\]
Ta có: \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left[ {1; - 1;2} \right]\] suy ra \[\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left[ { - 6; - 6;0} \right]\]
Vậy khoảng cách cần tìm là:
\[d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\]\[ = \frac{{\sqrt {36 + 36 + 0} }}{{\sqrt {6 + 9} }} = 2\]
LG b
\[d:\,{x \over { - 1}} = {{y - 4} \over 1} = {{z + 1} \over { - 2}}\] và
\[d':\left\{ \matrix{
x ={ - t'} \hfill \cr
y = {2 + 3t'} \hfill \cr
z = {- 4 + 3t'} \hfill \cr} \right.\]
Phương pháp giải:
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:\[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\]
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d đi qua \[M\left[ {0;4; - 1} \right]\] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ { - 1;1; - 2} \right]\].
Đường thẳng d đi qua \[M'\left[ {0;2; - 4} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} = \left[ { - 1;3;3} \right]\].
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \left[ {0; - 2; - 3} \right];\] \[\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {9;5; - 2} \right]\].
\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = - 4 \ne 0 \]
\[\Rightarrow d\] và d chéo nhau.
Khoảng cách giữa \[{d_1}\]và \[{d_2}\] là:
\[d = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {4 \over {\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = {{2\sqrt {110} } \over {55}}\]