Bài tập ddingj lí đảo dấu tam thức bậc hai năm 2024

Bài viết hướng dẫn phương pháp xét dấu của tam thức bậc hai và cách giải các dạng toán liên quan đến tam thức bậc hai, kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu bất đẳng thức và bất phương trình xuất bản trên TOANMATH.com.

1. LÝ THUYẾT VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1. Tam thức bậc hai: • Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $a{{x}^{{2}}+bx+c$, trong đó $a$, $b$, $c$ là những số cho trước với $a\ne 0.$ • Nghiệm của phương trình $a{{x}}{2}}+bx+c=0$ được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}^{{2}}+bx+c.$ • $\Delta ={{b}}{2}}-4ac$ và $\Delta’=b’^{{2}-ac$ theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=a{{x}}{2}}+bx+c.$ 2. Dấu của tam thức bậc hai: Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong các bảng sau: • Trường hợp 1: $Δ<0$ (tam thức bậc hai vô nghiệm).

• Trường hợp 2: $Δ=0$ (tam thức bậc hai có nghiệm kép ${x_0} = – \frac{b}{{2a}}$).

• Trường hợp 3: $Δ>0$ (tam thức bậc hai có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ $\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$).

Cho tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$, ta có: • $a{x^2} + bx + c > 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right.$ • $a{x^2} + bx + c \ge 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right.$ • $a{x^2} + bx + c < 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta < 0 \end{array} \right.$ • $a{x^2} + bx + c \le 0$, $\forall x \in R$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a < 0\\ \Delta \le 0 \end{array} \right.$

2. CÁC DẠNG TOÁN VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng toán 1. Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai. Phương pháp giải toán: Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai. • Đối với đa thức bậc cao $P(x)$ ta làm như sau: + Phân tích đa thức $P\left( x \right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất). + Lập bảng xét dấu của $P\left( x \right).$ • Đối với phân thức $\frac{P(x)}{Q(x)}$ (trong đó $P\left( x \right)$, $Q\left( x \right)$ là các đa thức) ta làm như sau: + Phân tích đa thức $P\left( x \right)$, $Q\left( x \right)$ thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất). + Lập bảng xét dấu của $\frac{P(x)}{Q(x)}.$

Ví dụ 1. Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

1. $3{{x}^{2}}-2x+1.$
2. $-{{x}^{2}}+4x+5.$
3. $-4{{x}^{2}}+12x-9.$
4. $3{{x}^{2}}-2x-8.$
5. $25{{x}^{2}}+10x+1.$
6. $-2{{x}^{2}}+6x-5.$

1. Ta có $\Delta’=-2<0$, $a=3>0$ suy ra $3{{x}^{2}}-2x+1>0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$
2. Ta có $ – {x^2} + 4x + 5 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = – 1}\\ {x = 5} \end{array}} \right.$ Bảng xét dấu:

Suy ra $-{{x}^{{2}}+4x+5>0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -1;5 \right)$ và $-{{x}}{2}}+4x+5<0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( 5;+\infty \right).$

3. Ta có $\Delta’=0$, $a<0$ suy ra $-4{{x}^{2}}+12x-9<0$, $\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{3}{2} \right\}.$
4. Ta có $3{{x}^{2}}-2x-8=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=2 \\ x=-\frac{4}{3} \\ \end{matrix} \right.$ Bảng xét dấu:

Suy ra $3{{x}^{{2}}-2x-8>0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\infty ;-\frac{4}{3} \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ và $3{{x}}{2}}-2x-8<0$ $\Leftrightarrow x\in \left( -\frac{4}{3};2 \right).$

5. Ta có $\Delta’=0$, $a>0$ suy ra $25{{x}^{2}}+10x+1>0$, $\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{5} \right\}.$
6. Ta có $\Delta’=-1<0$, $a<0$ suy ra $-2{{x}^{2}}+6x-5<0$, $\forall x\in \mathbb{R}.$

Ví dụ 2. Tùy theo giá trị của tham số $m$, hãy xét dấu của các biểu thức $f(x)={{x}^{2}}+2mx+3m-2.$

Tam thức $f(x)$ có $a=1>0$ và $\Delta’={{m}^{{2}}-3m+2.$ • Nếu $10$, $\forall x\in R.$ • Nếu $\left[ \begin{align} & m=1 \\ & m=2 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \Delta’=0$ $\Rightarrow f(x)\ge 0$, $\forall x\in R$ và $f(x)=0$ $\Leftrightarrow x=-m.$ • Nếu $\left[ \begin{align} & m>2 \\ & m<1 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow \Delta’>0$ $\Rightarrow f(x)$ có hai nghiệm: ${{x}_{1}}=-m-\sqrt{{{m}}{2}}-3m+2}$ và ${{x}_{2}}=-m+\sqrt{{{m}^{2}}-3m+2}$. Khi đó: + $f(x)>0$ $\Leftrightarrow x\in (-\infty ;{{x}_{1}})\cup ({{x}_{2}};+\infty ).$ + $f(x)<0$ $\Leftrightarrow x\in ({{x}_{1}};{{x}_{2}}).$

Ví dụ 3. Xét dấu của các biểu thức sau:

1. $\left( -{{x}^{{2}}+x-1 \right)\left( 6{{x}}{2}}-5x+1 \right).$
2. $\frac{{{x}^{{2}}-x-2}{-{{x}}{2}}+3x+4}.$
3. ${{x}^{3}}-5x+2.$
4. $x-\frac{{{x}^{{2}}-x+6}{-{{x}}{2}}+3x+4}.$

1. Ta có: $-{{x}^{{2}}+x-1=0$ vô nghiệm. $6{{x}}{2}}-5x+1=0$ $\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{1}{3}.$ Bảng xét dấu:

Suy ra $\left( -{{x}^{{2}}+x-1 \right)\left( 6{{x}}{2}}-5x+1 \right)$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right)$, $\left( -{{x}^{{2}}+x-1 \right)\left( 6{{x}}{2}}-5x+1 \right)$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;\frac{1}{3} \right)\cup \left( \frac{1}{2};+\infty \right).$

2. Ta có: ${{x}^{{2}}-x-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-1 \\ x=2 \\ \end{matrix} \right.$ $-{{x}}{2}}+3x+4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-1 \\ x=4 \\ \end{matrix} \right.$ Bảng xét dấu:

Suy ra $\frac{{{x}^{{2}}-x-2}{-{{x}}{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( 2;4 \right)$, $\frac{{{x}^{{2}}-x-2}{-{{x}}{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( -1;2 \right)\cup \left( 4;+\infty \right).$ [ads]

3. Ta có: ${{x}^{{3}}-5x+2=\left( x-2 \right)\left( {{x}}{2}}+2x-1 \right).$ ${{x}^{2}}+2x-1=0\Leftrightarrow x=-1\pm \sqrt{2}.$ Bảng xét dấu:

Suy ra ${{x}^{{3}}-5x+2$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( -1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2} \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$, ${{x}}{3}}-5x+2$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;-1-\sqrt{2} \right)\cup \left( -1+\sqrt{2};2 \right).$

4. Ta có: $x-\frac{{{x}^{{2}}-x+6}{-{{x}}{2}}+3x+4}$ $=\frac{-{{x}^{3}}+2{{x}{2}}+5x-6}{-{{x}^{{2}}+3x+4}$ $=\frac{\left( x-1 \right)\left( -{{x}}{2}}+x+6 \right)}{-{{x}^{{2}}+3x+4}.$ $-{{x}}{2}}+x+6=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-2 \\ x=3 \\ \end{matrix} \right.$ $-{{x}^{2}}+3x+4=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=-1 \\ x=4 \\ \end{matrix} \right.$ Bảng xét dấu:

Suy ra $x-\frac{{{x}^{{2}}-x+6}{-{{x}}{2}}+3x+4}$ dương khi và chỉ khi $x\in \left( -2;-1 \right)\cup \left( 1;3 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)$, $x-\frac{{{x}^{{2}}-x+6}{-{{x}}{2}}+3x+4}$ âm khi và chỉ khi $x\in \left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( -1;1 \right)\cup \left( 3;4 \right).$