Bài tập về sự tương giao giữa hai đồ thị
là dạng toán vô cùng quen thuộc đối với các bạn học sinh. Dạng toán này xuất hiện thường xuyên trong các bài thi quang trọng. Vì vậy các bạn hãy nắm chắc lý thuyết và biết cách giải bài tập của dạng toán này để đạt điểm tối đa trong các bài kiểm tra. Sau đây hãy cùng CMath tìm hiểu và ôn tập về sự tương giao của đồ thị hàm số nhé. Show
Lý thuyết sự tương giao đồ thị hàm sốGiao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình y = f(x) và y = g(x). Phương trình hoành độ giao điểm: cho f(x) = g(x) (1) Tương giao đồ thị hàm số chính là số giao điểm của 2 đồ thị bằng nghiệm của phương trình (1). Tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc nhất (C): y = (ax + b)/(cx + d) và đường thẳng d: y = kx + m.Ta có phương trình hoành độ giao điểm như sau: (ax + b)/(cx + d) = kx + m ⇔ Ax^2 + Bx + c = 0 (1) Đường thẳng d: y = kx + m cắt (C): y = (ax + b)/(cx + d) tại 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –d/c. Lúc này ta thấy hoành độ giao điểm của phương trình giao điểm thỏa mãn hệ thức Viet của phương trình (1). Tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc ba (C): y = ax^3 + bx^2 + cx + d và đường thẳng d: kx + mTa có phương trình hoành độ giao điểm như sau: ax^3 + bx^2 + cx + d = kx + m (1) Ta nhẩm nghiệm x = x0 rồi đưa về phương trình với dạng (x – x0)(Ax^2 + Bx + c) = 0 ⇔ x = x0 hoặc Ax^2 + Bx + c = 0 (2) Đường thẳng d và đồ thị hàm số (C) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác với x0. Ví dụ trong trường hợp A(x0; kx0 + m); B(x1; kx1 + m); C(x2; kx2 + m) Là tọa độ của 3 điểm giao nhau giữa đường thẳng d và đồ thị (C). Khi đó nghiệm x1; x2 sẽ thỏa mãn định lý Viet: x1 + x2 = –B/A và x1.x2 = C/A Tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc bốn trùng phương (C): y = ax^4 + bx^2 + c và đường thẳng d: y = mTa có phương trình hoành độ giao điểm như sau: ax^4 + bx^2 + c = m (1) Ta đặt t = x^2 (t 0), sau đó đưa phương trình (1) về dưới dạng at^2 + bt + c – m = 0 (2) Bài tập vận dụngDạng 1: Tìm điểm giao nhau giữa 2 đồ thị hàm số.Lý thuyếtHàm số y = f(x) có đồ thị (C1), hàm số y = g(x) có đồ thị (C2). Chúng ta thực hiện các bước sau đây để tìm giao điểm của 2 đồ thị hàm số:
Bài tậpBài tập 1: Tìm giao điểm của đồ thị (C): y = x^3 – 3x^2 + 2x + 1 và d: y = 1
Hướng dẫn giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm, ta được: x^3 – 3x^2 + 2x + 1 = 1 ⇔ x^3 – 3x^2 + 2x = 0 ⇔ x=0; x = 2 hoặc x = 2. Suy ra có 3 giao điểm → chọn đáp án D. Bài tập 2: Ta gọi giao điểm của trục hoành và đồ thị (C): y = x^4 + 2x^2 +3 là A(x1;y1), B(x2;y2). Tính tổng x1 + x2?
Hướng dẫn giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm, ta được: x^4 + 2x^2 +3 = 0 ⇔ x^2 = 1 hoặc x^2 = –3 → x = 1 hoặc x = –1. Suy ra có 2 giao điểm A(–1;0) và B(1;0) → x1 + x2 = 0 → chọn đáp án A. Bìa tập 3: Tìm giao điểm của hàm số (C): y = (x^2 – 2x – 3)/(x – 1) và đường thẳng y = x+ 1.
Hướng dẫn giải: Lập phương trình hoành độ giao điểm để tìm tương giao đồ thị hàm số, ta được: (x^2 – 2x – 3)/(x – 1) = x + 1 (điều kiện x khác –1). → x^2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 1) ⇔ x^2 – 2x – 3 = x^2 –1 ⇔ –2x = 2 → x = 1 → y = 0 Chọn đáp án A. Dạng 2: Biện luận theo tham số m.Lý thuyếtCác bước thực hiện tương giao đồ thị hàm số theo phương pháp cô lập tham số m:
Phương pháp cô lập tham số m sử dụng các tính chất đặc trưng của phương trình tương giao đồ thị hàm số.
Khi đó: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 ⇔ x = x0 hoặc ax^2 + b’x + c’ = 0 (*) Dựa vào yêu cầu đề bài, giải phương trình (*).
Bài tậpCho hàm số sau: y = 2x^3 – 3mx^2 + (m – 1)x +1 có đồ thị là (C). Tìm tham số m sao cho d: y = –x + 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Hướng dẫn giải: Dạng 3: Tìm tham số m để giao điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.Lý thuyếtCó đồ thị của 2 hàm số là y = f(x) và y = g(x) Ta có phương trình hoành độ giao điểm tương giao đồ thị hàm số là f(x) = g(x) Bài tậpCho hàm số sau: y = x^4 – (3m +2)x^2 + 3m có đồ thị (C). Tìm tham số m để d: y = –1 cắt (C) tại 4 điểm có hoành độ nhỏ hơn 2.
Hướng dẫn giải: Dạng 4: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đồ thị dựa vào bảng biến thiên và đồ thị hàm số.Lý thuyết
Bài tậpCho hàm số y = f(x) được xác định trên R và đồ thị bên dưới. Tìm giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f(x) + m + 1 = 0 có 1 nghiệm duy nhất.
Hướng dẫn giải: Dạng 5: Tiếp xúc giữa 2 đường congLý thuyết
Bài tậpCho 2 đường cong y = x^3 – x + 1 và y = x^2 – 5/4x + 1. Chứng minh rằng 2 đường cong tiếp xúc tại 1 điểm M nào đó. Tìm tọa độ của tiếp điểm M và viết phương trình tiếp tuyến chung tương giao đồ thị hàm số. Hướng dẫn giải: \>>> Tham khảo thêm: Cách tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số Lý thuyết đầy đủ về hàm số lượng giác Hàm số và đồ thị hàm số y = a.x (a ± 0). Phương pháp giải bài tập hay! Tạm kếtBài viết trên đây CMath đã thông tin đến bạn lý thuyết và bài tập vận dụng về tương giao đồ thị hàm số. Đây là dạng toán rất thường gặp và có nhiều phương pháp giải khác nhau, bạn cần lưu ý thật kỹ và làm bài tập để ghi nhớ các phương pháp giải toán. Hy vọng các thông tin trên là hữu ích và giúp cho bạn đạt được điểm tối đa trong các kỳ thi. |