Bài toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt năm 2024

Bài tâp:1- 4/trang75sgk:

Tường phẳng 2 lớp, Lớp thép không gỉ dày

5 mm Lớp cách nhiệt là vải amiăng 300 mm .Nhiệt độ hai bên tường lần lượt là

1200C và 450C.Biết hệ số dẫn nhiệt củathép không rỉ và của amiăng lần lượt là:

w/ mđộ

w/ mđộ ,Tính nhiệt tổn thất qua 1 m2

tường và nhiệt độ tiếp xúc

Giải

1. Nhiệt tổn thất

Theo phương trình dẫn nhiệt qua tường phẳng ta có

q=

 

 











0,279

0,3

17,5

0,005

45120

λ

δ

λ

δ

tt

2

2

1

1

T2T1

\=69,73 [w/m2]

b)Tính ta, Do truyền nhiệt ổn định q=q1\=q2

q1\=q=

17,5

0,005

120

λ

δ

qtt

1

1

T1

a

73,69

\=119,98 0C

Bài tập 1-5(trang 75/sgk): Một tường lò hai lớp có lớp trong là gạch chịu lửa có chiều dày 1 \=300

mm, và vỏ bọc ngoài bằng thép có chiều dày \=10 mm, với hệ số dẫn nhiệt của gạch và thép lần lượt

là 1 kcal/mh độ, và 40 kcal/mh độ. nhiệt độ trong lò, t1 \=8000C và nhiệt độ bên ngoài môi trường

bằng t2\=35 0C .Cho hệ số cấp nhiệt của không khí nóng trong lò và hệ số cấp nhiệt của môi trường

ngoài lần lượt là

1\=30 kcal/m2h độ, và

2 \=14 kcal/m2h độ.Tính:

1. Lượng nhiệt tổn thất ra môi trường xung quanh?

b)Nhiệt độ giữa hai lớp tường lò?

Giải :

1. Theo phương trình truyền nhiệt đẳng nhiệt qua tường phẳng ta có lượng

nhiệt truyền đi theo công thức sau.

Q= KF

t 

t = t1 – t2 \=800 – 35 =765 o C.

Hệ số truyền nhiệt K =

• 1. Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Khoa Vật lý Bài tập PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT & PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE Biên soạn: Lee Ein Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013
• 2. Physics Phương trình truyền nhiệt Bài 1: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt dài L mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh được cho bởi hàm số f ( x ) với 0 £ x £ L . Áp dụng kết quả này hãy tìm u ( x,t ) khi biết thanh dài 2 mét với f ( x ) = x khi 0 £ x £ 1 và f ( x ) = 2 - x khi 1 £ x £ 2 ¶u 2 ¶ u 2 ì0 £ x £ L Phương trình truyền nhiệt: =a với í ¶t ¶x 2 î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = f ( x ) với "x Î [0;L ] Điều kiện biên: u x =0 = u x = L = 0 với "t ³ 0 Tách biến: u ( x,t ) = X ( x ) .T ( t ) Þ X ( x ) T ¢ ( t ) = a 2 X¢¢ ( x ) T ( t ) X¢¢ ( x ) T¢ ( t ) ì X¢¢ ( x ) + lX ( x ) = 0 (1) ï Þ = = -l = const Þ í X (x) a T (t) ïT ¢ ( t ) + a lT ( t ) = 0 (2) 2 2 î Điều kiện biên: X ( 0 ) = X ( L ) = 0 (3) Giải phương trình (1) - Trường hợp 1: l = 0 Þ X ( x ) = Ax + B ì X ( 0 ) = A.0 + B = 0 ï Thay điều kiện (3) Þ í ÞA=B=0 ïX ( L ) = A.L + B = 0 î Þ X ( x ) = 0 Þ u ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 2: l < 0 Þ X ( x ) = Ae ax + Be -ax với a = -l ì ï X (0) = A + B = 0 Thay điều kiện (3) Þ í ÞA=B=0 ïX ( L ) = Ae aL î + Be -aL = 0 Þ X ( x ) = 0 Þ u ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 3: l > 0 Þ X ( x ) = A cos ax + B sin ax với a = l ì ï X (0) = A + 0 = 0 Thay điều kiện (3) Þ í Þ sin aL = 0 ïX ( L ) = A + B sin aL = 0 î Þ aL = kp với k = 1, 2, 3,… kp Þa= L kpx Phương trình (1) có vô số nghiệm: X k ( x ) = B sin L SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 1
• 3. Physics 2 æ kpa ö 2 -ç ÷ t æ kp ö Giải phương trình (2), ta có nghiệm: Tk ( t ) = C.e 2 - a lt = C.e è L ø với l = a = ç 2 ÷ è L ø 2 æ kpa ö +¥ -ç ÷ t kpx Suy ra: u ( x,t ) = åC e k =1 k è L ø sin L L +¥ kpx 2 kpx Dựa vào điều kiện đầu: u t =0 = f ( x ) Þ f ( x ) = å C k sin k =1 L Þ C k = ò f ( x ) sin L0 L dx Áp dụng: 2 1 2 kpx kpx kpx Ta có: C k = ò f ( x ) sin dx = ò f ( x ) sin dx + ò f ( x ) sin dx 0 2 0 2 1 2 1 2 kpx kpx Þ C k = ò x sin dx + ò ( 2 - x ) sin dx 0 2 1 2 2 (x - 2) 1 1 2 2 -2x kpx 2 kpx kpx 2 kpx = kp cos + ò cos 2 dx + kp cos 2 - kp ò cos 2 dx 2 0 kp 0 1 1 1 2 -2 kp 2 2 kpx 2 kp 2 2 kpx = cos + sin + cos - sin kp 2 k p kp 2 0 kp 2 kp kp 2 1 4 kp 4 kp 8 kp = sin + sin = sin ( kp ) 2 ( kp ) 2 ( kp ) 2 2 2 2 2 æ kpa ö +¥ kp -ç8 2 ÷ t kpx Đáp số: u ( x,t ) = å sin e è ø sin k =1 ( kp ) 2 2 2 SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 2
• 4. Physics Bài 2: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x = 0 của thanh được giữ ở u0 , còn đầu kia được giữ ở u1 , nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh là u 2 ¶u 2 ¶ u 2 ì0 £ x £ 1 Phương trình truyền nhiệt: =a với í ¶t ¶x 2 î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = u 2 với "x Î [0;1] Điều kiện biên: u x =0 = u0 , u x=1 = u1 với "t ³ 0 Đặt v ( x,t ) = u ( x, t ) - u 0 + ( u 0 - u1 ) x ìv ï = u x =0 - u0 + ( u0 - u1 ) .0 = 0 Þ í x =0 ï v x=1 = u x =1 - u0 + ( u0 - u1 ) .1 = 0 î ¶v ¶2v Với u ( x,t ) = v ( x,t ) + u0 + ( u1 - u0 ) x . Phương trình truyền nhiệt trở thành: = a2 2 ¶t ¶x Với điều kiện đầu: v t =0 = u 2 - u0 + ( u0 - u1 ) x Và điều kiện biên: v x =0 = v x =1 = 0 Tách biến: v ( x,t ) = X ( x ) .T ( t ) Þ X ( x ) T ¢ ( t ) = a 2 X¢¢ ( x ) T ( t ) X¢¢ ( x ) T¢ ( t ) ì X¢¢ ( x ) + lX ( x ) = 0 (1) ï Þ = = -l = const Þ í X (x) a T (t) ïT ¢ ( t ) + a lT ( t ) = 0 (2) 2 2 î Điều kiện biên: X ( 0 ) = X (1) = 0 (3) Giải phương trình (1) - Trường hợp 1: l = 0 Þ X ( x ) = Ax + B ìX ( 0 ) = A.0 + B = 0 ï Thay điều kiện (3) Þ í ÞA=B=0 ï X (1) = A.1 + B = 0 î Þ X ( x ) = 0 Þ v ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 2: l < 0 Þ X ( x ) = Ae ax + Be -ax với a = -l ì ï X (0) = A + B = 0 Thay điều kiện (3) Þ í ÞA=B=0 ïX (1) = Ae + Be = 0 a -a î Þ X ( x ) = 0 Þ v ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 3: l > 0 Þ X ( x ) = A cos ax + B sin ax với a = l SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 3
• 5. Physics ì ï X (0) = A + 0 = 0 Thay điều kiện (3) Þ í Þ sin a = 0 ïX (1) = A + B sin a = 0 î Þ a = kp với k = 1, 2, 3,… Þ a = kp Phương trình (1) có vô số nghiệm: X k ( x ) = B sin kpx Giải phương trình (2), ta có nghiệm: Tk ( t ) = C.e - a lt = C.e với l = a 2 = ( kp ) -( kpa ) t 2 2 2 +¥ 1 Suy ra: v ( x,t ) = å C ke -( kpa ) t sin kpx Þ C k = 2 ò é u 2 - u0 + ( u0 - u1 ) x ù sin kpxdx 2 ë û k =1 0 +¥ Đáp số: u ( x,t ) = u 0 + ( u1 - u0 ) x + åC e ( - kpa ) t 2 k sin kpx k =1 Bài 3: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt dài L mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng hai đầu thanh cách nhiệt và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh được cho bởi hàm số f ( x ) với 0 £ x £ L . Áp dụng kết quả này hãy tìm u ( x,t ) khi biết thanh dài 2 mét với f ( x ) = u0 khi 0 £ x £ 1 và f ( x ) = 0 khi 1 £ x £ 2 ¶u 2 ¶ u 2 ì0 £ x £ L Phương trình truyền nhiệt: =a với í ¶t ¶x 2 î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = f ( x ) với "x Î [0;L ] ¶u ¶u Điều kiện biên: = = 0 với "t ³ 0 ¶x x =0 ¶x x= L Tách biến: u ( x,t ) = X ( x ) .T ( t ) Þ X ( x ) T ¢ ( t ) = a 2 X¢¢ ( x ) T ( t ) X¢¢ ( x ) T¢ ( t ) ì X¢¢ ( x ) + lX ( x ) = 0 (1) ï Þ = = -l = const Þ í X (x) a T (t) ïT ¢ ( t ) + a lT ( t ) = 0 (2) 2 2 î Điều kiện biên: X¢ ( 0 ) = X¢ ( L ) = 0 (3) - Trường hợp 1: l = 0 Þ X ( x ) = Ax + B Thay điều kiện (3): Þ X¢ ( 0 ) = A = 0 Þ X 0 ( x ) = B ¹ 0 Từ phương trình (2), ta có: T ¢ ( t ) = 0 Þ T0 ( t ) = C ¹ 0 a0 Vậy u0 ( x, t ) = BC = 2 - Trường hợp 2: l < 0 Þ X ( x ) = Ae ax + Be -ax với a = -l Þ X¢ ( x ) = aAeax - aBe -ax SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 4
• 6. Physics ì ï X¢ ( 0 ) = A - B = 0 Thay điều kiện (3) Þ í ÞA=B=0 ïX¢ ( L ) = Ae - Be = 0 aL -aL î Þ X ( x ) = 0 Þ u ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 3: l > 0 Þ X ( x ) = A cos ax + B sin ax với a = l Þ X¢ ( x ) = -aA sin ax + aB cos ax ì ï X¢ ( 0 ) = 0 + B = 0 Thay điều kiện (3) Þ í Þ sin aL = 0 ïX¢ ( L ) = -aA sin aL + 0 = 0 î Þ aL = kp với k = 1, 2, 3,… kp Þa= L kpx Phương trình (1) có vô số nghiệm: X k ( x ) = A cos L 2 æ kpa ö 2 -ç ÷ t æ kp ö Giải phương trình (2), ta có nghiệm: Tk ( t ) = C.e - a 2 lt = C.e è L ø với l = a = ç 2 ÷ è L ø 2 æ kpa ö a +¥ -ç L ÷ t kpx Suy ra: u ( x,t ) = 0 + å C k e è ø cos 2 k =1 L L L 2 2 kpx Với a 0 = ò f ( x ) dx và C k = ò f ( x ) cos dx L0 L0 L Áp dụng: 2 1 2 1 Ta có: a 0 = f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx Þ a 0 = u0dx = u0 x 0 = u0 ò ò ò ò 1 0 0 1 0 1 1 kpx 2u kpx 2u kp Và: C k = ò u0 cos dx = 0 sin = 0 sin 0 2 kp 2 0 kp 2 2 æ kpa ö u +¥ 2u kp -ç 2 ÷ t kpx Đáp số: u ( x,t ) = 0 + å 0 sin eè ø cos 2 k =1 kp 2 2 SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 5
• 7. Physics Bài 4: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x = 0 của thanh cách nhiệt, còn đầu kia được giữ ở nhiệt độ u1 , nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh là u ( x,0 ) = u1x với 0 £ x £ 1 ¶u 2 ¶ u 2 ì0 £ x £ 1 Phương trình truyền nhiệt: =a với í ¶t ¶x 2 î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = u1x với "x Î [0;1] ¶u Điều kiện biên: = 0 và u x=1 = u1 với "t ³ 0 ¶x x =0 ì v x =1 = u x =1 - u1 = 0 ï ï ¶v ¶u Đặt v ( x,t ) = u ( x, t ) - u1 Þ í = =0 ï ¶t x=0 ¶t x=0 ï îv t =0 = u t =0 - u1 = u1x - u1 ¶v ¶2v Với u ( x,t ) = v ( x, t ) + u1 . Phương trình truyền nhiệt trở thành: = a2 2 ¶t ¶x Tách biến: v ( x,t ) = X ( x ) .T ( t ) Þ X ( x ) T ¢ ( t ) = a 2 X¢¢ ( x ) T ( t ) X¢¢ ( x ) T¢ ( t ) ì X¢¢ ( x ) + lX ( x ) = 0 (1) ï Þ = = -l = const Þ í X (x) a T (t) ïT ¢ ( t ) + a lT ( t ) = 0 (2) 2 2 î ï X¢ ( 0 ) = 0 ì Điều kiện biên: í (3) ï X (1) = 0 î - Trường hợp 1: l = 0 Þ X ( x ) = Ax + B Þ X¢ ( x ) = A ì X¢ ( 0 ) = A = 0 ï Thay điều kiện (3): í ÞA=B=0 ïX ( L ) = A + B = 0 î Þ X ( x ) = 0 Þ v ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 2: l < 0 Þ X ( x ) = Ae ax + Be -ax với a = -l Þ X¢ ( x ) = aAeax - aBe -ax ì X¢ ( 0 ) = A - B = 0 ï Thay điều kiện (3) Þ í ÞA=B=0 ïX (1) = Ae + Be = 0 a -a î Þ X ( x ) = 0 Þ v ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 3: l > 0 Þ X ( x ) = A cos ax + B sin ax với a = l Þ X¢ ( x ) = -aA sin ax + aB cos ax SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 6
• 8. Physics ì X¢ ( 0 ) = 0 + B = 0 ï Thay điều kiện (3): Þ í Þ cos a = 0 ï î X (1) = A cos a = 0 Þa= ( 2k + 1) p với k = 0, 2, 3,… 2 Phương trình (1) có vô số nghiệm: X k ( x ) = A cos ( 2k + 1) px 2 2 é ( 2 k +1) pa ù -ê ú t Giải phương trình (2), ta có nghiệm: Tk ( t ) = C.e - a lt = C.e 2 2 ë û é ( 2k + 1) p ù 2 với l = a 2 = ê ú ë 2 û 2 é ( 2 k +1) pa ù +¥ -ê ú t ( 2k + 1) px Suy ra: v ( x,t ) = åC e ë 2 û k cos k =1 2 Dựa vào điều kiện đầu: v t =0 = u1x - u1 +¥ Þ u1x - u1 = å C k cos ( 2k + 1) px 1 Þ C k = 2 ò ( u1x - u1 ) cos ( 2k + 1) px dx k =1 2 0 2 Bài 5: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt dài L mét có chứa nguồn nhiệt (cho bởi hàm số g ( x,t ) ), biết rằng hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh được cho bởi hàm số f ( x ) với 0 £ x £ L . Áp dụng kết quả này hãy tìm u ( x,t ) khi biết thanh dài 2 mét với g ( x, t ) = x 2 - 2x với 0 £ x £ 2 , nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh là 0 ¶u 2 ¶ u 2 ì0 £ x £ L Phương trình truyền nhiệt: =a + g ( x, t ) với í ¶t ¶x 2 î t³0 Điều kiện biên: u x =0 = u x = L = 0 với "t ³ 0 +¥ kpx Ta xét nghiệm: u ( x,t ) = å T ( t ) sin L k =1 k +¥ kpx Điều kiện ban đầu: u t =0 = f ( x ) = å T ( 0 ) sin L k với "x Î [0;L ] k =1 L 2 kpx Þ Tk ( 0 ) = f ( x ) sin Lò dx (*) 0 L L +¥ kpx 2 kpx Ta viết: g ( x, t ) = å G k ( t ) sin Þ G k ( t ) = ò g ( x,t ) sin dx k =1 L L0 L SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 7
• 9. Physics Phương trình truyền nhiệt: 2 +¥ kpx +¥ æ kp ö kpx +¥ kpx å Tk¢ ( t ) sin k =1 L = a å - ç ÷ Tk ( t ) sin 2 k =1 è L ø L + å G k ( t ) sin k =1 L 2 2 æ kpa ö æ kpa ö Þ Tk ( t ) = - ç ¢ ÷ Tk ( t ) + G k ( t ) Û Tk ( t ) + ç L ÷ Tk ( t ) = G k ( t ) ¢ è L ø è ø 2 æ kpa ö -ç ÷ t Nghiệm của phương trình vi phân: Tk ( t ) = C.e è L ø + TR ( t ) với TR ( t ) là nghiệm riêng. Từ điều kiện (*): Þ Tk ( 0 ) = C + TR ( 0 ) Þ C = Tk ( 0 ) - TR ( 0 ) é -ç kpa ÷ t ù 2 æ ö +¥ kpx Suy ra: u ( x,t ) = å ê C.e è L ø + TR ( t ) ú sin k =1 ê ú L ë û Áp dụng: 2 kpx Tk ( 0 ) = ò 0.sin dx = 0 0 1 ( ) 2 2 kpx 2 2x - x 2 kpx 4 1 kpx Gk ( t ) = ò ( 2 ) x - 2x sin 2 dx = kp cos 2 + ò ( x - 1) cos 2 dx kp 0 0 0 4 é 2 ( x - 1) kpx ù 4 æ 2 kpx ö 2 2 kpx 2 2 2 16 =0+ ê k p ê kp sin - ò sin 2 dx ú = kp ç 0 + kp kp cos 2 0 ÷ = ( kp)3 ( cos kp - 1) 2 0 kp 0 ú ç ÷ ë û è ø 16 é( -1) - 1ù k = ë û ( kp ) 3 16 é( -1) - 1ù k 2 æ kpa ö ë û Ta có: Tk ( t ) + ç ¢ ÷ Tk ( t ) = ( kp ) 3 è 2 ø 2 æ kpa ö -ç ÷ t Nghiệm phương trình vi phân: Tk ( t ) = C.e è 2 ø + TR ( t ) Þ TR ( t ) = D = const 16 é( -1) - 1ù 64 é( -1) - 1ù k k 2 æ kpa ö ë û ÞD= ë û Þ0+ç ÷ D= ( kp ) ( kp ) a 3 5 2 è 2 ø 64 é( -1) - 1ù k Ngoài ra, ta có: Tk ( 0 ) = C + ë û =0 ( kp ) a 5 2 ( kp ) a 2 = ( kp ) a 2 5 5 Nếu k chẵn Þ C = 0 (loại). Suy ra k phải lẻ Þ C = 64 é1 - ( -1) ù k 128 ë û SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 8
• 10. Physics 2 æ kpa ö -ç ÷ t ( kp ) 5 2 è 2 ø ae 128 Vậy: Tk ( t ) = - ( kp ) 5 128 a2 é ù 2 æ kpa ö 5 2 -ç 2 ÷ t +¥ ê ( kp ) a e è ø 128 ú kpx Đáp số: u ( x,t ) = å ê - 5 2ú sin k =1 ê 128 ( kp ) a ú L ê ë ú û Bài 6: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x = 0 của thanh được giữ ở nhiệt độ 0, còn đầu kia của thanh có nhiệt độ cho bởi 1 u (1, t ) = ( "t ³ 0 ), nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh là u ( x,0 ) = x với et 0 £ x £1 ¶u 2 ¶ u 2 ì0 £ x £ 1 Phương trình truyền nhiệt: =a với í ¶t ¶x 2 î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = x với "x Î [0;1] Điều kiện biên: u x =0 = 0, u x =1 = e - t với "t ³ 0 ì v x =0 = u x =0 - e - t × 0 = 0 ï Đặt v ( x,t ) = u ( x,t ) - e - t x Þ í v x =1 = u x =1 - e - t × 1 = 0 ï î v t =0 = u t =0 - x = 0 Với u ( x,t ) = v ( x, t ) + e - t x . Phương trình truyền nhiệt trở thành: ¶v - t ¶2v ¶v ¶2v ¶v ¶2v - e x = a2 2 Û = a 2 2 + e- t x Þ = a 2 2 + g ( x, t ) với g ( x,t ) = e - t x ¶t ¶x ¶t ¶x ¶t ¶x Với điều kiện đầu: v t =0 = 0 và điều kiện biên: v x =0 = v x =1 = 0 +¥ Ta xét nghiệm: v ( x,t ) = å T ( t ) sin kpx k =1 k +¥ Điều kiện ban đầu: v t =0 = 0 = å T ( 0 ) sin kpx với "x Î [0;1] k =1 k 1 Þ Tk ( 0 ) = 2 ò 0sin kpxdx = 0 (*) 0 +¥ Ta viết: g ( x, t ) = å G ( t ) sin kpx k =1 k SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 9
• 11. Physics 1 æ -x 1 1 1 ö Þ G k ( t ) = 2 ò e x sin kpxdx = 2.e ç cos kpx + kp ò -t -t cos kpxdx ÷ ç kp ÷ 0 è 0 0 ø æ - cos kp 1 1 -t 1 ö -2.e - t cos kp 2.e- t ( -1) k +1 = 2.e ç + sin kpx ÷ = = ç kp k p kp ÷ kp kp è 0ø Phương trình truyền nhiệt: +¥ +¥ +¥ å Tk¢ ( t ) sin kpx = a 2 å - ( kp ) Tk ( t ) sin kpx + å G k ( t ) sin kpx 2 k =1 k =1 k =1 Þ Tk ( t ) = - ( kpa ) Tk ( t ) + G k ( t ) Û Tk ( t ) + ( kpa ) Tk ( t ) = G k ( t ) 2 2 ¢ ¢ 2.e - t ( -1) k +1 Þ Tk ( t ) + ( kpa ) Tk ( t ) = 2 ¢ kp Nghiệm của phương trình vi phân: Tk ( t ) = C.e + TR ( t ) với TR ( t ) = De - t . -( kpa ) t 2 2.e - t ( -1) 2 ( -1) k +1 k Þ -De + ( kpa ) De = -t 2 -t ÛD= kp kp é1 - ( kpa ) ù 2 ë û 2 ( -1) k Từ điều kiện (*): Þ Tk ( 0 ) = C + TR ( 0 ) Þ C = 0 - D = kp é( kpa ) - 1ù 2 ë û é ù 2 ( -1) 2 ( -1) k k +¥ Suy ra: v ( x,t ) = å ê -( kpa ) t -t ú 2 e + e sin kpx ê k =1 kp é( kpa ) - 1ù 2 kp é1 - ( kpa )2 ù ú ê ë ë û ë û ú û é ù 2 ( -1) 2 ( -1) k k +¥ Đáp số: u ( x,t ) = å ê e -( kpa ) t 2 + -t ú e sin kpx + e - t x k =1 ê kp é( kpa )2 - 1ù kp é1 - ( kpa ) ù ú 2 ê ë ë û ë û ú û SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 10
• 12. Physics Bài 7: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết rằng đầu x = 0 của thanh có nhiệt độ cho bởi u ( 0,t ) = 3t ( "t ³ 0 ), còn đầu kia của thanh được giữ ở nhiệt độ 0, nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh là u ( x,0 ) = 0 với 0 £ x £ 1 ¶u ¶2u ì0 £ x £ 1 Phương trình truyền nhiệt: = a 2 2 với í ¶t ¶x î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = 0 với "x Î [0;1] Điều kiện biên: u x =0 = 3t, u x=1 = 0 với "t ³ 0 ì v x =0 = u x =0 - 3t + 3t.0 = 0 ï Đặt v ( x,t ) = u ( x,t ) - 3t + 3tx Þ í v x =1 = u x =1 - 3t + 3t.1 = 0 ï îv t =0 = u t =0 - 3.0 + 3.0.x = 0 Với u ( x,t ) = v ( x,t ) + 3t - 3tx . Phương trình truyền nhiệt trở thành: ¶v ¶2v ¶v ¶2v ¶v ¶2v + 3 - 3x = a 2 2 Û = a 2 2 + ( 3x - 3) Þ = a 2 2 + g ( x, t ) với g ( x, t ) = 3x - 3 ¶t ¶x ¶t ¶x ¶t ¶x Với điều kiện đầu: v t =0 = 0 và điều kiện biên: v x =0 = v x =1 = 0 +¥ Ta xét nghiệm: v ( x,t ) = å T ( t ) sin kpx k =1 k +¥ Điều kiện ban đầu: v t =0 = 0 = å T ( 0 ) sin kpx với "x Î [0;1] k =1 k 1 Þ Tk ( 0 ) = 2 ò 0sin kpxdx = 0 (*) 0 +¥ Ta viết: g ( x, t ) = å G ( t ) sin kpx k =1 k 1 1 Þ G k ( t ) = 2 ò ( 3x - 3) sin kpxdx = 6 ò ( x - 1) sin kpxdx 0 0 æ1- x 1 1 1 ö æ -1 1 1 1 ö 6 = 6ç ç kp cos kpx + ò cos kpxdx ÷ = 6 ç kp + kp kp sin kpx 0 ÷ = - kp kp 0 ÷ è ø è 0 ø Phương trình truyền nhiệt: +¥ +¥ +¥ å Tk¢ ( t ) sin kpx = a 2 å - ( kp ) Tk ( t ) sin kpx + å G k ( t ) sin kpx 2 k =1 k =1 k =1 Þ Tk ( t ) = - ( kpa ) Tk ( t ) + G k ( t ) Û Tk ( t ) + ( kpa ) Tk ( t ) = G k ( t ) 2 2 ¢ ¢ SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 11
• 13. Physics 6 Þ Tk ( t ) + ( kpa ) Tk ( t ) = - 2 ¢ kp Nghiệm của phương trình vi phân: Tk ( t ) = C.e + TR ( t ) với TR ( t ) = D . -( kpa ) t 2 6 6 Þ ( kpa ) D = - 2 ÛD=- kp ( kp ) a 2 3 6 Từ điều kiện (*): Þ Tk ( 0 ) = C + TR ( 0 ) Þ C = 0 - D = ( kp ) 3 a2 +¥ 6 é e-( kpa ) t - 1ù sin kpx Suy ra: v ( x,t ) = å 2 3 2 ê ú k =1 ( kp ) a ë û +¥ 6 ée -( kpa ) t - 1ù sin kpx + 3t - 3tx Đáp số: u ( x,t ) = å 2 3 2 ê ú k =1 ( kp ) a ë û Bài 8: Tìm nhiệt độ u ( x,y,t ) trên một hình chữ nhật dẫn nhiệt (chiều dài L và chiều rộng m) không chứa nguồn nhiệt, biết rằng nhiệt độ trên 4 cạnh của hình chữ nhật được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x, y ) trên hình chữ nhật được cho bởi hàm số f ( x, y ) với 0 £ x £ L và 0 £ y £ m . Áp dụng kết quả này hãy tìm u ( x,y,t ) của một hình vuông có cạnh 2 mét với f ( x,y ) = xy ( x - 2 )( y - 2 ) với 0 £ x £ 2 và 0 £ y £ 2 ì0 £ x £ L ¶u ¶u 2æ¶ u ¶2u ö 2 ï Phương trình truyền nhiệt: = a Du hay 2 = a ç 2 + 2 ÷ với í0 £ y £ m ¶t ¶t è ¶x ¶y ø ï t³0 î Điều kiện ban đầu: u t =0 = f ( x,y ) với "x Î [0;L ] và "y Î [0;m ] ì ï u x =0 = u x = L = 0 Điều kiện biên: í với "t ³ 0 ï u y =0 = u y = m = 0 î Tách biến: u ( x,y, t ) = V ( x,y ) T ( t ) Þ V ( x,y ) T ¢ ( t ) = a 2 DV ( x,y ) T ( t ) DV ( x,y ) T¢ ( t ) ìDV ( x,y ) + lV ( x,y ) = 0 (1) ï Þ = = -l = const Þ í V ( x,y ) a T (t) ï T ¢ ( t ) + a lT ( t ) = 0 (2) 2 2 î SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 12
• 14. Physics ì X¢¢ ( x ) + aX ( x ) = 0 ( 3) ï Xét V ( x, y ) = X ( x ) Y ( y ) là nghiệm, phương trình (1) trở thành: í Y¢¢ ( y ) + bY ( y ) = 0 ( 4 ) ï a +b = l î ìX ( 0 ) = X ( L ) = 0 ï Với điều kiện biên: í ïY ( 0 ) = Y ( L ) = 0 î Giải phương trình (3): - Trường hợp 1: a = 0 Þ X ( x ) = Ax + B ì X ( 0 ) = A.0 + B = 0 ï Thay điều kiện biên Þ í ÞA=B=0 ïX ( L ) = A.L + B = 0 î Þ X ( x ) = 0 Þ V ( x, y ) = 0 Þ u ( x,y,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 2: a < 0 Þ X ( x ) = Ae jx + Be -jx với j = -a ì ï X (0) = A + B = 0 Thay điều kiện biên Þ í ÞA=B=0 ïX ( L ) = Ae + Be = 0 Lj - Lj î Þ X ( x ) = 0 Þ V ( x, y ) = 0 Þ u ( x,y,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 3: a > 0 Þ X ( x ) = A cos jx + B sin jx với j = a ì ï X (0) = A + 0 = 0 Thay điều kiện biên Þ í Þ sin jL = 0 ïX ( L ) = A + B sin jL = 0 î Þ jL = kp với k = 1, 2, 3,… kp Þj= L 2 kpx æ kp ö Phương trình (3) có vô số nghiệm: X k ( x ) = B sin với a = ç ÷ L è L ø 2 npy æ np ö Giải tương tự cho phương trình (4), ta có vố số nghiệm: Yn ( x ) = B¢ sin với b = ç ÷ m èmø 2 2 æ kp ö æ np ö Từ phương trình (2) cho ta nghiệm: Tkn ( t ) = C.e - a 2 lt với l = a + b = ç ÷ +ç ÷ è L ø èmø éæ kpa ö æ npa ö 2 2ù - êç ÷ +ç út +¥ +¥ ÷ kpx npy Suy ra: u ( x,y, t ) = åå C êè L ø è m ø ë ú û kn e sin sin k =1 n =1 L m +¥ +¥ kpx npy Dựa vào điều kiện đầu: u t =0 = f ( x,y ) Þ f ( x, y ) = åå C k =1 n =1 kn sin L sin m SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 13
• 15. Physics Lm 2 2 kpx npy Þ C kn = Lm00ò ò f ( x,y ) sin L sin m dxdy Áp dụng: 2 2 kpx npy Þ C kn = ò ò xy ( x - 2 )( y - 2 ) sin sin dxdy 0 0 2 2 2 2 kpx npy =ò ( x - 2x sin 2 2 ) dx.ò y2 - 2y sin ( 2 dy ) 0 0 ( ) cos kpx 2 2 kpx 2 2x - x 2 4 1 kpx ò( x - 2x sin ) dx = + ò ( x - 1) cos 2 dx 2 Ta có: 0 2 kp 2 kp 0 0 4 é 2 ( x - 1) kpx ù 4 æ 2 kpx ö 2 2 kpx 2 2 2 16 ( cos kp - 1) 2 0 kp ò =0+ ê sin - sin dx ú = ç0 + cos ÷= k p ê kp 2 ç ú kp è kp kp ÷ 2 0 ø ( kp ) 3 ë 0 û 16 é( -1) - 1ù k = ë û ( kp ) 3 16 é( -1) - 1ù n 2 npy ò( ) dy = ë Tương tự: y 2 - 2y sin û ( np ) 3 0 2 16 é( -1) - 1ù 16 é( -1) - 1ù 256 é( -1) - 1ù é( -1) - 1ù k n k n Suy ra: C kn = ë û ë û= ë ûë û ( kp ) ( np ) ( kn ) p 3 3 3 6 256 é( -1) - 1ù é( -1) - 1ù - êæ kLa ö k n é p 2 æ npa ö 2ù +ç út +¥ +¥ ë ûë û e êç ÷ ÷ kpx npy Đáp số: u ( x,y,t ) = åå ëè ø è m ø ú û sin sin ( kn ) p 3 6 k =1 n =1 L m SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 14
• 16. Physics Bài 9: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt dài vô hạn không chứa nguồn nhiệt, biết rằng nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh được cho bởi hàm số f ( x ) với "x Î R . Áp dụng kết quả này hãy tìm u ( x,t ) khi biết nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh là f ( x ) = u0 khi 0 £ x £ 1 và f ( x ) = 0 khi x < 0 hoặc x > 1 ¶u ¶2u ì -¥ < x < +¥ Phương trình truyền nhiệt: = a 2 2 với í ¶t ¶x î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = f ( x ) với "x Î R Tách biến: u ( x,t ) = X ( x ) .T ( t ) Þ X ( x ) T ¢ ( t ) = a 2 X¢¢ ( x ) T ( t ) X¢¢ ( x ) T¢ ( t ) ìT ¢ ( t ) + a 2 lT ( t ) = 0 (1) ï Þ = 2 = -l = const Þ í X (x) a T (t ) ï X¢¢ ( x ) + lX ( x ) = 0 (2) î Giải phương trình (1), ta có nghiệm: T ( t ) = Ce - a lt 2 2 - Trường hợp 1: Nếu l < 0 Þ lim e - a lt = +¥ t ®+¥ é T ( t ) ® +¥ nÕu C ¹ 0 Þê (loại) Þ Không nhận l < 0 ë T ( t ) = 0 nÕu C = 0 - Trường hợp 2: Nếu l ³ 0 thì phương trình (2) có nghiệm: X ( x ) = A ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax với l = a 2 Þ a Î R Þ có vô số nghiệm: X a ( x ) = A ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax Vậy ta có vô số nghiệm: u a ( x,t ) = é A ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax ù e - a a t 2 2 ë û +¥ Þ u ( x, t ) = ò é A ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax ù e ë û - a 2a2 t da -¥ +¥ Từ điều kiện đầu: u t =0 = f ( x ) Þ f ( x ) = ò éA ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax ù da ë û -¥ ì 1 +¥ ïA ( a ) = ò f ( z ) cos azdz ï 2p -¥ Þí +¥ ïB a = 1 ï ( ) ò f ( z ) sin azdz 2p -¥ î é 1 +¥ +¥ 1 +¥ ù - a 2 a2 t Þ u ( x, t ) = ò ê ò f ( z ) cos azdz cos ax + 2p -¥ f ( z ) sin azdz sin ax ú e da ò -¥ ë 2 p -¥ û +¥ +¥ 1 ò -¥ ( cos az cos ax + sin az sin ax ) f ( z ) e dzda ò - a 2a2 t = 2 p -¥ SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 15
• 17. Physics +¥ +¥ 1 Þ u ( x, t ) = ò -¥ cos éa ( z - x )ù f ( z ) e dzda ò ë û - a 2 a2 t 2 p -¥ +¥ 1 ò ëcos é a ( z - x ) ù e - a a t da 2 2 Xét tích phân: P = û 2 p -¥ ì ds ï s = aa t Þ da = ï a t Đặt í ïws = a ( z - x ) Þ w = z - x ï î a t +¥ +¥ 1 ò cos ( ws ) e ds . Đặt I ( w) = ò cos ( ws ) e -s2 -s2 ÞP= ds 2pa t -¥ -¥ dI ( w) +¥ = I¢ ( w) = ò -s sin ( ws ) e -s ds 2 Xét dw -¥ ìJ = sin ( ws ) Þ dJ = w cos ( ws ) ds ï Đặt í e -s 2 -s2 ï dv = -se ds Þ v = î 2 +¥ e -s sin ( ws ) 2 +¥ +¥ w -s2 w -s2 w Þ I¢ ( w ) = - ò e cos ( ws ) ds = - 2 -¥ e cos ( ws ) ds = - 2 I ( w) ò 2 2 -¥ -¥ I¢ ( w ) 2 w w - Þ = - Þ I ( w) = Ce 4 I ( w) 2 +¥ +¥ +¥ p Cho w = 0 Þ I ( 0 ) = C Þ C = òe -s2 òe -s2 Þ C = ò e -s ds = p 2 ds mà ds = -¥ 0 2 -¥ 2 æ z -x ö w2 ç ÷ ( z - x )2 ( z - x )2 ( z - x )2 -è a tø - - 1 - 1 - Þ I ( w) = pe = pe = pe ÞP= pe = 2 2 4a 2 t 4 4 4a t 4a t e 2pa t 2a pt +¥ Þ u ( x, t ) = ò Pf ( z ) dz -¥ +¥ ( z - x )2 1 - Vậy u ( x,t ) = ò f (z)e 4a 2 t dz 2a pt -¥ Áp dụng: +¥ ( z - x )2 1 ( z - x )2 1 - u0 - Ta có: u ( x,t ) = ò f (z)e 2a pt ò dz = 2 4a 2 t 4a t e dz 2a pt -¥ 0 SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 16
• 18. Physics z-x dz Đặt a = Þ da = Þ dz = 2a tda 2a t 2a t ì -x ï z=0Þa= = a1 ï 2a t Đổi cận: í ïz = 1 Þ a = 1 - x = a ï î 2a t 2 a2 a2 u0 u0 Þ u ( x, t ) = òe -a 2 2a tda = òe -a2 da 2a pt a1 p a1 u0 æ 2 1 -a2 2 2 -a2 ö u0 0 a2 a a u0 u0 ò e da + ò e da = ò ò e da ÷ = 2 é -F ( a1 ) + F ( a2 )ù 2 2 -a -a = ç - e da + ë û p a1 p 0 2ç è p 0 p 0 ÷ ø u0 é æ 1- x ö æ -x ö ù Đáp số: u ( x,t ) = êF ç ÷ - Fç ÷ú (hàm F được tính gần đúng) 2 ë è 2a t ø è 2a t ø û Bài 10: Tìm nhiệt độ u ( x,t ) trên một thanh dẫn nhiệt nửa vô hạn không chứa nguồn nhiệt có đầu x = 0 cách nhiệt và nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh được cho bởi hàm số f ( x ) với x ³ 0 . Áp dụng kết quả này hãy tìm u ( x,t ) khi biết nhiệt độ ban đầu tại các điểm M ( x ) trên thanh là f ( x ) = u0 khi 0 £ x £ 1 và f ( x ) = 0 khi x > 1 Xét thanh dẫn nhiệt dài vô hạn: ¶u 2 ¶ u 2 ì -¥ < x < +¥ Phương trình truyền nhiệt: =a với í ¶t ¶x 2 î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = f ( x ) với "x Î R Tách biến: u ( x,t ) = X ( x ) .T ( t ) Þ X ( x ) T ¢ ( t ) = a 2 X¢¢ ( x ) T ( t ) X¢¢ ( x ) T¢ ( t ) ìT ¢ ( t ) + a 2 lT ( t ) = 0 (1) ï Þ = 2 = -l = const Þ í X (x) a T (t ) ï X¢¢ ( x ) + lX ( x ) = 0 (2) î Giải phương trình (1), ta có nghiệm: T ( t ) = Ce - a lt 2 2 - Trường hợp 1: Nếu l < 0 Þ lim e - a lt = +¥ x ®+¥ é T ( t ) ® 0 nÕu C ¹ 0 Þê (loại) Þ Không nhận l < 0 ë T ( t ) = 0 nÕu C = 0 - Trường hợp 2: Nếu l ³ 0 thì phương trình (2) có nghiệm: X ( x ) = A ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 17
• 19. Physics với l = a Þ a Î R Þ có vô số nghiệm: X a ( x ) = A ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax 2 Vậy ta có vô số nghiệm: u a ( x,t ) = é A ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax ù e - a a t 2 2 ë û +¥ Þ u ( x, t ) = ò é A ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax ù e - a a t da 2 2 ë û -¥ +¥ Từ điều kiện đầu: u t =0 = f ( x ) Þ f ( x ) = ò éA ( a ) cos ax + B ( a ) sin ax ù da ë û -¥ ì 1 +¥ ïA ( a ) = ò f ( z ) cos azdz ï 2p -¥ Þí +¥ ïB a = 1 ï ( ) ò f ( z ) sin azdz 2p -¥ î +¥ é 1 +¥ 1 +¥ ù 2 2 Þ u ( x, t ) = ò 2p -¥ ê ò f ( z ) cos azdz cos ax + ò f ( z ) sin azdz sin ax ú e - a a t da -¥ ë 2 p -¥ û +¥ +¥ 1 ò -¥ ( cos az cos ax + sin az sin ax ) f ( z ) e dzda ò - a 2a2 t = 2 p -¥ +¥ +¥ 1 Þ u ( x, t ) = òò ë cos éa ( z - x ) ù f ( z ) e - a a t dzda 2 2 2 p -¥ -¥ û +¥ 1 ò ëcos é a ( z - x ) ù e - a a t da 2 2 Xét tích phân: P = û 2 p -¥ ì ds ï s = aa t Þ da = a t ï Đặt í ïws = a ( z - x ) Þ w = z - x ï î a t +¥ +¥ 1 ò cos ( ws ) e ds . Đặt I ( w) = ò cos ( ws ) e 2 -s -s2 ÞP= ds 2pa t -¥ -¥ dI ( w) +¥ = I¢ ( w) = ò -s sin ( ws ) e -s ds 2 Xét dw -¥ ìJ = sin ( ws ) Þ dJ = w cos ( ws ) ds ï Đặt í e -s 2 -s2 ï dv = -se ds Þ v = î 2 +¥ e -s sin ( ws ) 2 +¥ +¥ w -s2 w w Þ I¢ ( w ) = ò e cos ( ws ) ds = - ò e -s cos ( ws ) ds = - I ( w) 2 - 2 2 -¥ 2 -¥ 2 -¥ SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 18
• 20. Physics I¢ ( w ) 2 w w - Þ = - Þ I ( w) = Ce 4 I ( w) 2 +¥ +¥ +¥ p Cho w = 0 Þ I ( 0 ) = C Þ C = ò e ds mà ò e ds = Þ C = ò e -s ds = p 2 2 2 -s -s -¥ 0 2 -¥ 2 æ z -x ö w2 ç ÷ ( z - x )2 ( z - x )2 ( z - x )2 -è a tø - - 1 - 1 - Þ I ( w) = pe = pe = pe ÞP= pe = 2 2 4a 2 t 4 4 4a t 4a t e 2pa t 2a pt +¥ Þ u ( x, t ) = ò Pf ( z ) dz -¥ ( z -x ) 2 +¥ 1 - Vậy u ( x,t ) = ò f (z)e 2 4a t dz 2a pt -¥ Ta có phương trình truyền nhiệt của thanh nửa vô hạn không chứa nguồn: ¶u ¶2u ì0 £ x < +¥ = a 2 2 với í ¶t ¶x î t³0 Điều kiện ban đầu: u t =0 = f ( x ) với "x Î é0; +¥ ) ë Kéo dài thanh thành thanh vô hạn có điều kiện đầu: F ( x ) = f ( x ) khi x Î é0; +¥ ) ë +¥ ( z - x )2 1 - Khi đó, u ( x,t ) của thanh vô hạn là: u ( x,t ) = ò F (z) e 4a 2 t dz 2a pt -¥ 2 (z - x) ( ) 2 +¥ z -x ¶u 1 - = ò 4a 2 t F ( z ) e 4a t dz 2 Ta có: ¶x 2a pt -¥ +¥ z2 ¶u - 2 Với điều kiện biên: = 0 với "t ³ 0 Þ ò zF ( z ) e 4a t dz = 0 với "t ³ 0 ¶x x =0 -¥ Þ F ( x ) là hàm số chẵn Þ Kéo dài f ( x ) thành F ( x ) chẵn. ( z+x) ( z -x ) 2 2 0 +¥ 1 - 1 - Þ u ( x, t ) = ò f (z)e dz + ò f (z)e 2 2 4a t 4a t dz 2a pt -¥ 2a pt 0 é - ( z +x ) ( z -x ) ù 2 2 +¥ - 1 Cuối cùng ta được: u ( x,t ) = ò f (z) ê ê e 4a2 t + e 4a2 t ú dz 2a pt -¥ ú ë û Áp dụng: é - ( z+x) ( z -x ) ù é - ( z +x ) ( z -x ) ù 2 2 2 2 +¥ 1 1 - u0 - Ta có: u ( x,t ) = ò f (z) ê êe 4a2 t + e 4a2 t ú dz = òêê e 4a2 t + e 4a2 t ú dz 2a pt -¥ ú 2a pt ú ë û 0 ë û SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 19
• 21. Physics 1 ( z -x ) 2 u0 - Tính tích phân: I1 = òe 2a pt 0 4a 2 t dz z-x dz Đặt a = Þ da = Þ dz = 2a tda 2a t 2a t ì -x ï z = 0 Þ a = 2a t = a1 ï Đổi cận: í ïz = 1 Þ a = 1 - x = a ï î 2a t 2 a2 a2 u0 u0 òe ò e da -a 2 -a 2 Þ I1 = 2a tda = 2a pt a1 p a1 u0 æ 2 1 -a2 2 2 -a2 ö u0 0 a2 a a u0 u0 òe òe ò e da + p ò e da ÷ = 2 é -F ( a1 ) + F ( a2 )ù -a 2 -a 2 = da + da = ç - ë û p a1 p 0 2ç è p 0 0 ÷ ø 1 ( z + x )2 u0 - 2a pt ò Tính tích phân: I 2 = e 4a 2 t dz 0 z+x dz Đặt a¢ = Þ da¢ = Þ dz = 2a tda¢ 2a t 2a t ì x ¢ ï z = 0 Þ a = 2a t = a1 ï Đổi cận: í ï z = 1 Þ a = 1 + x = a¢ ï î 2a t 2 a¢ a¢ u0 2 u0 2 òe ò e da¢ -a¢2 -a¢ 2 Þ I1 = 2a tda¢ = 2a pt ¢ a1 p ¢ a1 a¢ a¢ a¢ u0 æ 2 1 -a¢2 ö u 0 u u 2 2 2 -a¢2 = 0 ò e -a¢ da¢ + 0 òe ò ò e da¢ ÷ = 0 é -F ( a1 ) + F ( a¢ ) ù 2 -a¢2 da = ç - e da ¢+ ¢ p a1¢ p 2ç p 0 p 0 ÷ 2 ë 2 û 0 è ø u0 é æ 1- x ö æ -x ö æ 1+ x ö æ x öù Đáp số: u ( x,t ) = I1 + I 2 = êF ç ÷ - Fç ÷ + Fç ÷ - Fç ÷ú 2 ë è 2a t ø è 2a t ø è 2a t ø è 2a t ø û (hàm F được tính gần đúng) SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 20
• 22. Physics Phương trình Laplace Bài 1: Tìm nhiệt độ dừng u ( x,y ) trên một hình chữ nhật (chiều dài L và chiều rộng m) với nhiệt độ trên 2 biên x = 0 và x = L giữ ở 0, còn nhiệt độ trên 2 biên y = 0 và y = m lần lượt là f ( x ) và F ( x ) với 0 £ x £ L . Áp dụng kết quả này hãy tìm u ( x,y ) trên một hình vuông có cạnh 1 mét với f ( x ) = sin 5px và F ( x ) = 0 với 0 £ x £ 1 ¶2u ¶2u ¶2u ¶2u Phương trình Laplace: Du ( x,y ) = 0 Þ + 2 =0 Þ 2 =- 2 ¶x 2 ¶y ¶x ¶y Điều kiện biên: u x =0 = u x = L = 0 u y =0 = f ( x ) , u y = m = F ( x ) Tách biến: u ( x,y ) = X ( x ) Y ( y ) Þ X¢¢ ( x ) Y ( y ) = - X ( x ) Y¢¢ ( y ) X¢¢ ( x ) Y¢¢ ( y ) ï X¢¢ ( x ) + lX ( x ) = 0 ì (1) Þ = = -l = const Þ í X (x) -Y ( y ) ïY¢¢ ( y ) - lY ( y ) = 0 î (2) Với điều kiện biên: X ( 0 ) = X ( L ) = 0 , Y ( 0 ) = f ( x ) , Y ( m ) = F ( x ) Giải phương trình (1): - Trường hợp 1: l = 0 Þ X ( x ) = Ax + B ì X ( 0 ) = A.0 + B = 0 ï Thay điều kiện biên Þ í ÞA=B=0 ïX ( L ) = A.L + B = 0 î Þ X ( x ) = 0 Þ u ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 2: l < 0 Þ X ( x ) = Ae ax + Be -ax với a = -l ì ï X (0) = A + B = 0 Thay điều kiện biên Þ í ÞA=B=0 ïX ( L ) = Ae aL î + Be -aL = 0 Þ X ( x ) = 0 Þ u ( x,t ) = 0 (loại) - Trường hợp 3: l > 0 Þ X ( x ) = A cos ax + B sin ax với a = l ì ï X (0) = A + 0 = 0 Thay điều kiện biên Þ í Þ sin aL = 0 ïX ( L ) = A + B sin aL = 0 î Þ aL = kp với k = 1, 2, 3,… kp Þa= L kpx Phương trình (1) có vô số nghiệm: X k ( x ) = B sin L SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 21
• 23. Physics 2 kpy kpy æ kp ö - Với l = a = ç ÷ và k = 1, 2, 3,… thì phương trình (2) có nghiệm: Yk ( y ) = Ce + De 2 L L è L ø æ kpy - kpy +¥ ö kpx Vậy: u ( x,y ) = X k ( x ) Yk ( y ) = å ç A k e + B k e L ÷ sin L k =1 è ø L L +¥ kpx 2 kpx Mà u y=0 = f ( x ) Þ f ( x ) = å ( A k + B k ) sin Þ A k + B k = ò f ( x ) sin dx (*) k =1 L L0 L +¥ æ kpm - kpm ö kpx Và u y= m = F ( x ) Þ F ( x ) = åç k =1 è A k e L + B k e L ÷ sin L ø kpm kpm L - 2 kpx Þ Ake L + Bke L = ò F ( x ) sin dx (**) L0 L Giải (*) và (**) tìm được A k và B k Áp dụng: 1 Ta có: A k e kp + Bke - kp = 2 ò 0sin kpxdx = 0 0 1 1 Ta cũng có: A k + B k = 2 sin 5px sin kpxdx = é cos ( 5 - k ) px - cos ( 5 + k ) px ù dx ò ë ò û 0 0 - Trường hợp 1: k ¹ 5 1 Þ A k + B k = ò écos ( 5 - k ) px - cos ( 5 + k ) px ù dx ë û 0 sin ( 5 - k ) px sin ( 5 + k ) px 1 1 = - =0 (5 - k ) p 0 (5 + k ) p 0 ì A k = -B k ì Ak + Bk = 0 ï Ta có hệ phương trình: í kp - kp Þ í æ kp 1 ö î A k e + B k e = 0 ï B k ç e - kp ÷ = 0 î è e ø Þ A k = B k = 0 (loại vì u ( x, t ) = 0 ) - Trường hợp 1: k = 5 1 1 sin10px Þ A 5 + B 5 = ò (1 - cos10px ) dx = x 0 - 1 =1 0 10p 0 ì A5 + B5 = 1 ì A5 = 1 - B5 Ta có hệ phương trình: í Ûí î(1 - B 5 ) e + B 5e = 0 5p -5 p 5p -5 p î A 5 e + B 5e = 0 ì e -5p -1 ì A5 = 1 - B5 ï A 5 = - 5p -5p = 10 p ï e -e e -1 Û í 5p 5p -5 p Ûí îe - B 5e + B 5e =0 5p ï B = e e10 p = ï 5 e5 p - e -5p e10 p - 1 î SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 22