Dấu hiệu nhận biết 2 tiếp tuyến cắt nhau

§6. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau 1. B Hình 79 Với "thước phân giác", ta có thể tìm được tâm của một vật hình tròn. ĐINH LÍ Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì : Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. Chứng minh. Gọi BA, CA theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B, tại c của đường tròn (O) (h.79). Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có AB ± OB, AC10C. Hai tam giác vuông AOB và AOC có OB = oc, OA là cạnh chung nên AAOB = AAOC (cạnh huyền - cạnh góc vuông). Suy ra : AB = AC. OAB = OAC nên AO là tia phân giác của góc BAC. AOB = AOC nên OA là tia phân giác của góc BOC. Hãy nêu cách tìm tâm của một miếng gỗ hình tròn bằng "thước phân giác" (xem hình vẽ trong khung ở đầu §6). 2. Đường tròn nội tiếp tam giác Hình 80 Q Cho tam giác ABC. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác ; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc ke' từ I đến các cạnh BC, AC, AB (h.80). Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn tâm I. Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Trên hình 80, đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác. Đường tròn bàng tiếp tam giác Cho tam giác ABC, K là giao điểm các đường phân giác của hai góc ngoài tại B và c ; D, E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ K đêh các đường thẳng BC, AC, AB (h.81). Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên cùng một đường tròn có tâm K. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. .Trên hình 81 ta có đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC. Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và c, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại B (hoặc C). Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp. Bài tập Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm). Chứng minh rằng OA vuông góc với BC. Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC ; biết OB = 2cm, OA = 4cm. Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB. Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào ? Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay. Luyện tập Cho nửa đường tròn tâm o có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vủông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với. nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở c và D. Chứng minh ràng : COD = 90°. CD = AC + BD. Tích AC.BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Hình 82 Trên hình 82, tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng : 2AD = AB + AC - BC. Tim các hệ thức tựơng tự như hệ thức ở câu a). Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn bán kính lcm. Diện tích của tam giác ABC bằng : (A) 6cm2 ; (B) 73 cm2 ; (C)^cm2; (D) 3a/3 cm2. Hãy chọn câu trả lời đúng. / Có thể em ehưa biết Hình 83 minh hoạ "thước phân giác". Thước gồm hai thanh gỗ ghép lại thành góc vuông BAC, hai thanh gỗ này được đóng lên một tấm gỗ hình tam giác vuông, trong đó AD là tia phân giác của góc BAC. Để tìm tâm của một hình tròn, ta đặt hình tròn đó tiếp xúc với hai cạnh AB và AC (h.84). Vạch theo AD ta được một đường thẳng đi qua tâm của hình tròn. Xoay hình tròn và làm tương tự, ta được một đường thẳng nữa đi qua tâm của hình tròn. Giao điểm của hai đường vừa kẻ là tâm của hình tròn.

§6. TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYÊN CẮT NHAU A. Tóm tắt kiến thức Định lí Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm (h.a). Đường tròn nội tiếp tam giác Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác (h.b). Hình a Hình b Hình c Đường tròn bàng tiếp tam giác Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia. Tâm cửa đường tròn bàng tiếp trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và c, giao điểm này cũng nằm trên đường phân giác góc A (h.c). Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp. B. Ví dụ giải toán Ví dụ. Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của tia AO với dây BC. Vẽ điểm D đối xứng với A qua BC. Chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình thoi. Đường thẳng co cắt BD tại E. Chứng minh rằng BD và CD là các tiếp tuyến của đường tròn (O ; OE). Giải. a) Ta có, AB = AC và Ai - A2 (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau). Suy ra AABC cân tại A và AH 1 BC ; HB = HC. Ta lại có HA = HD nên tứ giác ABDC là hình bình hành. /^1 (í '^2 ợ r H/\ 1 .y sZ yy B Hình bình hành này có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi. b) Ta CÓ oc ± AC (tính chất của tiếp tuyến). Suy ra OE 1 BD (vì BD // AC). Vậy BD là tiếp tuyến của đường tròn (O ; OE). Vẽ OF ± CD thì OE = OF (điểm o nằm trên tia phân giác của góc D thì cách đều hai cạnh của góc D). Vậy điểm F nằm trên đường tròn (O ; OE), suy ra CD là tiếp tuyến của đường tròn này. Nhận xét. Khi vẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì tia nối từ điểm đó qua tâm vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm. Tính chất này thường dùng để giải nhiều bài tập có liên quan đến hai tiếp tuyến cắt nhau. c. Hướng dẫn giải các bài tập trong sách giáo khoa Bài 26. a) Vì AB, AC là các tiếp tuyến nên AB - AC và Ai = A2. Suy ra OA ± BC (tính chất của tam giác cân). Điểm B nằm trên đường tròn đường kính CD nên CBD = 90°. Suy ra BD // AO (vì cùng vuông góc VỚI BC). Nối OB thì OB 1 AB. Xét AAOB vuông tại B có : ; A OB 2 1 sin A, = — = — = — 1 OA 4 2 => Âi = 30° => BAC = 60°. Tam giác ABC cân, có một góc 60° nên là tam giác đều. Ta có AB2 = OA2 - OB2 = 42 - 22 = 12 => AB = 2V3. Vậy AB = AC = BC = 2V3 cm. Nhận xét. Qua câu c) ta thấy : Góc tạo bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn vẽ từ một điểm cách tâm một khoảng bằng đường kính đúng bằng 60°. Bài 27. HD. Chứng minh AB = AC ; DB = DM và EC -EM. Chu vi AADE = = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB. Bài 28. HD : Gọi tâm của đường tròn là o. Hãy xác định vị trí của tia AO đối với góc xAy. Bài 29. • Phân tích Đường tròn (O) tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nên tâm o nằm trên tia phân giác Am của góc xAy. Đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B nên tâm o nằm trên đường thẳng d ± Ax tại B. Vậy o là giao điểm của tia Am với đường thẳng d. Cách dựng Dựng tia phân giác Am của góc xAy. Qua B dựng đường thẳng d ± Ax, cắt tia Am tại o. Dựng đường tròn (ó ; OB), đó là đường tròn phải dựng. Chứng minh Vì OB 1 Ax tại B nên đường tròn (O ; OB) tiếp xúc với Ax tại B. Vì o nằm trên tia phân giác của góc xAy nên o cách đều hai cạnh của góc xAy. Do đó đường tròn (O ; OB) tiếp xúc với Ay.. Bài 30. • Biện luận. Bài toán luôn có một nghiệm hình. Ax ± OA tại A, By ± OB tại B nên Ax, By là các tiếp tuyến của đường tròn. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : CM = CA ; DM = DB ; Oi = Oỉ; O3 = O4. Ta có COD = 90° (tính chất hai tia phân giác, của hai góc kề bù). CD = CM + MD = CA + BD. Xét ACOD vuông tại o ta có OM2 = MC.MD = AC.BD hay AC.BD = R2 (không đổi). Bài 31. a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AD = AF ; BD = BE ; CE = CF. Xét vế phải AB + AC - BC = = (AD + DB) + (AF + FC) - (BE + EC) = (AD + BE) + (AF + CE) - (BE + EC) = AD + AF = 2AD. b) Các hệ thức tương tự là : 2BD = BA + BC - AC ; 2CF = CA + CB - AB. Nhận xét. Từ bài toán trên ta có các kết quả sau : AD = AF = p - a ; BD = BE = p - b ; CE = CF = p - c trong đó AB = c ; BC = a ; CA = b và p là nửa chu vi của tam giác ABC. Bài 32. HD. Tâm o của đường tròn nội tiếp tam giác đều cũng là giao điểm ba đường trung tuyến, ba đường cao. Do đó đường cao h = AE = 3.OE - 3cm. Trong tam giác đều, h = 22C- (a là độ dài mỗi cạnh). Suy ra a = ^4=* = —7= = 2V3 (cm). 73 73 Do đó diện tích tam giác ABC là s = 1 ah = ị .273.3 = 373 (cm2). 2 2 Ta chọn (D). D. Bài tập luyện thêm 1. Cho đường tròn (O ; 2). Từ một điểm A cách o là 2V2, vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, c là các tiếp điểm). Tính chu vi tam giác ABC. Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC. Biết AB = 7 ; AC = 24 va BC = 25. Tính diện tích các tam giác AOB, BOC và COA. Trong hình bên, đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A của tam giác ABC. Ta kí hiệu BC = a, AC = b, AB = c vàp = 1±|±£. Chứng minh rằng : AM = AN = p ; BM = BE = p - c ; CN = CE = p - b. Cho nửa đường tròn (O ; R) đường kính AB. Từ A và B vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Từ một điểm c trên nửa đường tròn, vẽ một tiếp tuyến thứ ba với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở D và E. Vẽ CH ± AB cắt AE tại M. Chứng minh rằng : AD + BE > 2R ; AD.BE = R2 ; M là trung điểm của CH ; Ba đường thẳng AE, BD và CH đồng quy. Lời giải - Hướng dẫn - Đáp sô 1. Nối OB, ÒC. ta được OB 1 AB ; oc 1 AC. Ta có AC2 = OA2 - oc2 = (2V2 )2 - 22 = 4 => AC = 2, do đó AB = 2. Tứ giác ABOC có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi. Hình thoi này có C = 90° nên là hình vuông. 2, Suy ra BC - OA = 2V2. Chu vi AABC là 2 + 2 + 272=4 + 2^2. Ta có AB2 + AC2 = 72 + 242 = 625 ; BC2 = 252 = 625. Vậy AB2 + AC2 = BC2. Do đó AABC vuông tại A. Từ đó suy ra tứ giác AFOD là hình vuông. 2AD = AB + AC - BC 7 + 24-25 AD = =3. Theo kết quả bài 31 SGK ta có Từ đó tính được SA0B = 10,5 ; SB0C = 37,5 ; SAOC = 36. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : BM = BE ; CN = CE và AM = AN. Ta có AM + AN = (AB + BM) + (AC + CN) •= AB + BE + AC + CE = AB + AC + (BE + CE) = AB + AC + BC. Do đó 2AM = 2p => AM = p => AN = p. Ta có BM = AM - AB = p - c => BE = p - c. CN = AN - AC = p - b => CE = p - b. T r / \ s t \ xV / \ Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AD = CD ; BE = CE. Vậy AD + BE = CD + CE = DE. Tứ giác ADEB là hình thang vuông tại A và B, DE là một cạnh bên nên DE > AB = 2R. Do đó AD + BE>2R. A H o Ta có DOE = 90° (hai tia phân giác của hai góc, kề bù). Tam giác DOE vuông tại o, suy ra oc2 = CD.CE = AD.BE hay AD.BE = R'. Ta có AD I I BE // CH. Áp dụng định lí Ta-let vào các tam giácADE và ABE ta được (1) (2) CM _ CE CM •_ AD _ CD AD - DE CE _ DE - DE . MH AM CD BE - AE DE Từ(l)và (2) ta có CE BE Mặt khác CE = BE nên CM = MH, do đó M là trung điểm của CH. Chứng minh tương tự ta được BD đi qua trung điểm của CH. Do đó ba đường thẳng AE, BD và CH đồng quy tại trung điểm của CH.