Đề bài
Cho đường tròn \[[O; 3cm]\] và điểm \[A\] có \[AO = 5cm.\] Kẻ các tiếp tuyến \[AB, AC\] với đường tròn \[[B, C\] là tiếp điểm\[].\] Gọi \[H\] là giao điểm của \[AO\] và \[BC.\]
\[a]\] Tính độ dài \[OH.\]
\[b]\] Qua điểm \[M\] bất kì thuộc cung nhỏ \[BC,\] kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt \[AB\] và \[AC\] theo thứ tự tại \[D\] và \[E.\] Tính chu vi tam giác \[ADE.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
+] Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
\[*\]] Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.
\[*\]] Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Bình phương cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.
\[*\]] Sử dụng định lí Py-ta-go: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
\[a]\] Ta có: \[AB = AC\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau].
Suy ra \[ABC\] cân tại A.
\[AO\] là tia phân giác của góc \[BAC\] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Suy ra \[AO\] là đường cao của tam giác \[ABC\] [tính chất tam giác cân].
Do đó \[AO\] vuông góc với \[BC\] tại \[H\]
Lại có: \[AB OB\] [tính chất tiếp tuyến]
Xét tam giác \[ABO\] vuông tại \[B\] có \[BH AO\]
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:
\[O{B^2} = OH.OA \]\[\Rightarrow OH =\displaystyle {{O{B^2}} \over {OA}}\]\[ =\displaystyle{{{3^2}} \over 5} = 1,8\] [cm]
\[b]\] Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông \[ABO,\] ta có:
\[A{O^2} = A{B^2} + B{O^2}\]
Suy ra: \[A{B^2} = A{O^2} - B{O^2} = {5^2} - {3^2} = 16\]
\[\Rightarrow AB = 4 [cm]\]
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
\[DB = DM\]
\[EM = EC\]
Chu vi của tam giác \[ADE\] bằng:
\[AD + DE + EA \]\[= AD + DM + ME + EA\]\[= AD + DB + AE + EC\]
\[= AB + AC = 2AB\] [vì \[AB=AC\] [cmt]]
\[= 2.4 = 8 [cm].\]