Đề bài
Cho hàm số
\[f\left[ x \right] = \sqrt {{{\left| x \right|}^3}} \]
Tính f' [0] nếu có
Lời giải chi tiết
Theo công thức tính đạo hàm của hàm số tại điểm 0
\[f'\left[ 0 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left[ x \right] - f\left[ 0 \right]} \over {x - 0}}\]
Ta được \[f'\left[ 0 \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} - 0} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x}\]
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x\sqrt x } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\]
Và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\sqrt {{{\left| x \right|}^3}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{ - x\sqrt { - x} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ { - \sqrt { - x} } \right] = 0\]
Nên \[f'\left[ 0 \right] = 0\]