Đề bài
Tam giác ABC cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của tia CA lấy N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC.
a] Chứng minh IE = IF.
b] Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = CN. Chứng minh BMDC là hình thang cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình thang
Hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau là hình thang cân.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[\widehat B = \widehat C\] [do tam giác ABC cân tại A] mà \[\widehat C = \widehat {NCF}\] [đối đỉnh]
Suy ra\[\widehat B = \widehat {NCF}\]
Xét\[\Delta MEB\] và \[\Delta NFC\] có:
+] BM=CN [gt]
+]\[\widehat B = \widehat {NCF}\]
Do đó \[\Delta MEB = \Delta NFC\] [cạnh huyền góc nhọn] \[ \Rightarrow ME = NF\]
Lại có \[ME// NF\] [cùng vuông góc với BC]
\[ \Rightarrow \widehat {EMI} = \widehat {FNI}\] [so le trong]
Xét\[\Delta IME\] và \[\Delta INF\] có:
+] \[\widehat {EMI} = \widehat {FNI}\] [cmt]
+] ME=NF [cmt]
+] \[\widehat {MEI} = \widehat {NFI}=90^0\]
Từ đó \[\Delta IME = \Delta INF[g.c.g] \Rightarrow IE = IF\]
b] Ta có CD = CN mà CN = BM [gt]
\[ \Rightarrow BM = CD\] mà \[AB = AC\]
\[ \Rightarrow AB - BM = AC - CD\] hay AM = AD
\[ \Rightarrow \Delta AMD\] cân tại A nên: \[\widehat {AMD} = \widehat {ADM} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat A}}{2}\]
Mặt khác \[\Delta ABC\] cân tại A \[ \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} =\dfrac {{{{180}^ \circ } - \widehat A} }{2}\]
Do đó \[\widehat {AMD} = \widehat {ABC} \Rightarrow MD//BC\] hay BMDC là hình thang có \[\widehat B = \widehat C\]
Suy raBMDC là hình thang cân.