Giới hạn hữu hạn của hàm số là gì năm 2024
|
Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11. Show
Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thứcQuảng cáo Lý thuyết Giới hạn của hàm số1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 1.1. Khái niệm giới hạn tại một điểm - Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x0. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ (a; b), xn ≠ x0 và xn → x0, ta có f (xn) → L, kí hiệu limx→x0 f(x) = L hay f(x) → L khi x → x0. - Các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm:
limx→x0 [f(x) + g(x)] =L+M; Quảng cáo limx→x0 [f(x) - g(x)] =L-M; limx→x0 [f(x) . g(x)] =L.M; limx→x0 \= LM, nếu M ≠ 0.
Chú ý: limx→x0c = c với c là hằng số. limx→x0xn=x0n với n ∈ ℕ. Ví dụ: Tìm giới hạn của: limx→2 x2+x−2x−1. Hướng dẫn giải Quảng cáo 1.2. Khái niệm giới hạn một bên • Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx→x0+ f(x) = L. • Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx→x0− f(x) = L. Chú ý: limx→x0f(x) = L khi và chỉ khi limx→x0+f(x) = limx→x0−f(x) = L. Quảng cáo Ví dụ: Tính limx→2−2−x. Hướng dẫn giải Xét dãy số (xn) bất kì, xn < 2 và xn → 2, ta có: limx→2−(2-xn) =2−limx→2−xn = 2-2 = 0. Suy ra limx→2−2−xn = 0. Vậy limx→2−2−x= 0. 2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực • Khái niệm giới hạn tại vô cực: - Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx→+∞ f(x) = L hay f(x) → L khi x → +∞. - Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn xn < b và xn → –∞, ta có f(xn) → L, kí hiệu limx→−∞ f(x) = L hay f(x) → L khi x → –∞. • Chú ý: - Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực. - Với c là hằng số, ta có: limx→+∞ c = c, limx→−∞c = c. - Với k là một số nguyên dương, ta có: limx→+∞ 1xk= 0, limx→−∞ 1xk= 0. - Lưu ý: ab = . Ví dụ: Tính limx→−∞x2+1x. Hướng dẫn giải Ta có 3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm 3.1. Giới hạn vô cực • Khái niệm giới hạn vô cực Giả sử khoảng (a; b) chứa x0 và hàm số y = f(x) xác định trên (a; b) \ {x0}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ (a; b) \ {x0}; xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limx→x0 f(x) = +∞. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn –∞ khi x → x0, kí hiệu limx→x0 f(x) = -∞, nếu limx→x0 [-f(x)] = +∞. • Giới hạn một bên: - Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (x0; b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên phải nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn x0 < xn < b, xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limx→x0+ f(x)= +∞. - Cho hàm số = f(x) xác định trên khoảng (a; x0). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x0 về bên trái nếu với dãy số (xn) bất kì thỏa mãn a < xn < x0, xn → x0, ta có f(xn) → +∞, kí hiệu limx→x0− f(x) = +∞ . - Các giới hạn một bên limx→x0+ f(x)= −∞, limx→x0− f(x) = −∞ được định nghĩa tương tự. Chú ý: Các giới hạn limx→+∞ f(x) = +∞, limx→−∞ f(x) = +∞, limx→+∞ f(x)=-∞ và limx→−∞ f(x)=-∞ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a; +∞), có giới hạn là – ∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞, kí hiệu limx→+∞ f(x) = -∞ hay f(x) → –∞ khi x → +∞. Một số giới hạn đặc biệt: +) limx→+∞ xk= +∞ với k nguyên dương; +) limx→−∞ f(x) = +∞ với k là số chẵn; +) limx→−∞ f(x) = -∞ với k là số lẻ. Ví dụ: Tìm giới hạn của: limx→+∞ 5x2−3xx2+2. Hướng dẫn giải 3.2. Một số quy tắc tính giới hạn vô cực Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực. Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực. • Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x). g(x). Giả sử limx→x0 f(x) = L≠ 0 và limx→x0 g(x) = +∞ (hoặc –∞). Khi đó limx→x0f(x)g(x) được tính theo quy tắc trong bảng sau: limx→x0 f(x) limx→x0 g(x) limx→x0 f(x)g(x) L > 0 +∞ +∞ –∞ –∞ L < 0 +∞ –∞ –∞ +∞ • Quy tắc tìm giới hạn của thương . limx→x0 f(x) limx→x0 g(x) Dấu của g(x) limx→x0 L ±∞ Tùy ý 0 L > 0 0 + +∞ – –∞ L < 0 0 + –∞ – +∞ Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → x0+, x → x0−. Ví dụ: Tìm limx→0 2x + 2x2. Hướng dẫn giải Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương. Giới hạn của tử số limx→0 (2x+2) = 2. Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và limx→0 x2 = 0. Do vậy limx→0 2x + 2x2= +∞. Bài tập Giới hạn của hàm sốBài 1: Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn giải \= 3 ⋅ 3 + 123 = 53
Nhưng với x ≠ 1, ta có: limx→1 x2+x − 2x − 1 =\= limx→1 (x+2) = 3. Bài 2: Tìm các giới hạn một bên:
Hướng dẫn giải
limx→1+ (x-3) = 1-3 = -2 <0 Do đó: limx→1+ x − 3x − 1 = – ∞.
limx→4− (x2-2x+3) = 42-8+3 = 11 > 0 Do đó: limx→4− x2−2x + 34 −x = +∞. Bài 3: Tính các giới hạn sau:
Hướng dẫn giải
limx→1− (2x - 4) = 2.1 - 4 = -2<0. Do đó, Bài 4: Cho hàm số f(x) = 2x2 − 2x − 1 và g(x) = x + 3. Khẳng định nào sau đây là sai?
Hướng dẫn giải
Ta có: f(x) = \= 2(x+1) = 2x+2 với mọi x ≠ 1. Biểu thức g(x) có nghĩa với mọi x. Do đó f(x) ≠ g(x). Suy ra khẳng định a) là khẳng định sai.
limx→1 g(x) = limx→1 (x+3) = 4 Vậy limx→1f(x) = limx→1g(x), do đó khẳng định b) là khẳng định đúng. Học tốt Giới hạn của hàm sốCác bài học để học tốt Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay khác:
Săn SALE shopee Tết:
CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVIDĐăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại khoahoc.vietjack.com Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. Thế nào là giới hạn của hàm số?Giới hạn của hàm số là khái niệm cơ bản trong lĩnh vực giải tích và vi tích phân. Đây là khái niệm có liên quan mật thiết đến hàm số khi có biến tiến tới một giá trị xác định nào đó. Ta có thể nói hàm hàm số có giới hạn L tại a khi f(x) tiến càng gần L khi x tiến càng gần a. Giới hạn hữu hạn của dãy số là gì?Trong toán học, giới hạn của một dãy là giá trị mà các số hạng của dãy "tiến tới". Nếu một giới hạn tồn tại, dãy được gọi là hội tụ, nếu không, dãy được gọi là phân kì. Giới hạn của một dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích. Hàm số có giới hạn tại 1 điểm khi nào?Giới hạn tại một điểm Hàm số f: R → R, được định nghĩa là f(x) = x nếu x là số hữu tỉ và f(x) = 0 nếu x là số vô tỉ, có giới hạn tại x = 0 và giới hạn đó bằng 0. Sở hữu hạn là như thế nào?Số hữu hạn là các số được định nghĩa là vô hạn (transfinite) nếu chúng chỉ lớn hơn 1000000000000, chứ không phải là hữu hạn tuyệt đối (infinity) một cách cần thiết. |
