Nhóm vành trường là gì
Lý thuyết nhóm Show Bài viết này sẽ giới thiệu kiến thức cơ bản về các khái niệm như nhóm, vành, trường, trường hữu hạn. Nhóm (Group)Nhóm là một tập hợp G và một phép toán 2 ngôi \(\bullet\), \((G, \bullet)\) phải thỏa các tính chất sau:
Ví dụ:
Cho nhóm G với phép toán \(\bullet\), tập con H của G được gọi là nhóm con nếu H và \(\bullet\) cũng tạo thành một nhóm. Khi H là nhóm con của G, ta kí hiệu \(H \leq G\). Ví dụ, xét nhóm \((\mathbb{Z}, +)\), khi đó ta có một nhóm con là tập hợp các số chẵn, tuy nhiên tập hợp các số lẻ không phải là nhóm con của \((\mathbb{Z}, +)\), do không thỏa tính đóng (tổng 2 số lẻ là một số chẵn). Khi H là nhóm con của G, ta có tính chất sau: Phần tử đơn vị của G cũng chính là phần tử đơn vị của H. Cyclic group và phần tử sinhXét nhóm G với phép toán \(\bullet\). Ta kí hiệu phép “lũy thừa” với ý nghĩa như sau:
Khi đó, G là một cyclic group nếu tồn tại \(g \in G\) sao cho, với mỗi \(a \in G\), \(a = g^k\) với một số nguyên k nào đó. G sẽ có dạng: \[\dots, g^{-3}, g^{-2}, g^{-1}, g^0 (= e), g^1, g^2, g^3, \dots\]\(g\) sẽ được gọi là phần tử sinh của nhóm. Ví dụ, \((\mathbb{Z}, +)\) là một cyclic group với phần tử sinh là 1. Nhóm hữu hạn, bậc (order) của nhóm và bậc của phần tửNhóm hữu hạn là một nhóm có số phần tử hữu hạn. Một loại nhóm hữu hạn mà ta thường gặp là nhóm số nguyên đồng dư \(\mathbb{Z_n}\), xem thêm Toán đồng dư. Xét một nhóm hữu hạn G,
Ký hiệu \(\langle a \rangle\) là nhóm con sinh bởi \(a \in G\), \(\langle a \rangle = \{a^k \vert k \in \mathbb{Z}\}\). Ta có tính chất sau: \(\lvert \langle a \rangle \rvert = \lvert a \rvert\), phát biểu bằng lời: “Bậc của nhóm con sinh bởi a bằng bậc của a” Định lý LagrangePhát biểu định lý Lagrange: “Nếu H là nhóm con của G thì \(\vert H \vert\) là ước của \(\vert G\vert\)”. Một số hệ quả:
Vành (Ring)Xét tập hợp R với 2 phép toán + và \(\cdot\), R được gọi là một vành nếu ta có các tính chất sau:
Lưu ý là phép nhân không cần có tính giao hoán và không cần phải có phần tử nghịch đảo. Ví dụ: Tập hợp các ma trận vuông 2x2 trên tập số thực là một vành. Tổng quát hơn, nếu R là một vành thì tập hợp các ma trận nxn với mỗi phần tử ma trận \(\in R\), kí hiệu \(M_n(R)\), cũng là một vành. Trường (Field)Xét tập hợp F với 2 phép toán + và \(\cdot\). F được gọi là một trường nếu nó thỏa các tính chất sau:
Trường hữu hạn là một trường có số phần tử là hữu hạn. Một trường hữu hạn thường gặp là \(\mathbb{Z}_p\) với p nguyên tố. Bài viết chi tiết về trường và trường hữu hạn sẽ được thêm vào trong tương lai. Đối với các định nghĩa khác, xem Vành (định hướng). Trong toán học, vành là một trong những cấu trúc đại số cơ bản. Nhiều đối tượng toán học có thể được xem xét như là vành, ví dụ như vành các hàm số liên tục trên một không gian, vành các đa thực một ẩn với hệ số thực, vành các ma trận với hệ số thực, vân vân. Vành có nhiều thuộc tính hơn là nhóm, nhưng lại ít thuộc tính hơn trường, nên nó có một vị trí cân bằng đặc biệt giữa các ngành của toán học. Một vành có thể là giao hoán hoặc không giao hoán, tùy thuộc xem phép nhân của nó có tính giao hoán hay không. Các vành giao hoán có một vị trí đặc biệt trong lý thuyết số và hình học đại số. Ngành nghiên cứu về các vành giao hoán và các i-đê-an trên vành giao hoán được gọi là đại số giao hoán. Các vành (không giao hoán) là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong đại số trừu tượng. Một tập hợp khác rỗng R được gọi là vành nếu trên đó có hai luật hợp thành trong R mà ta ký hiệu là "+" (phép cộng) và "×" (phép nhân) thoả mãn các điều kiện sau:
Tuy nhiên, có trường phái khác, định nghĩa một vành không có điều kiện phép nhân phải có phần tử đơn vị. Trong trường phái này, vành có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị. Nhiều trường phái cho rằng vành không cần tính chất phần tử đơn vị và không cần tính chất kết hợp trong phép nhân. Thí dụ, các loại vành Lie được gọi là vành nhưng phép nhân không có tính chất kết hợp. Người theo trường phái này dùng chữ vành kết hợp để gọi một vành trong đó phép nhân có tính kết hợp và để phân biệt giữa hai vành kết hợp và vành không kết hợp.
Một số nguyên Gauss (hay số nguyên phức) là một số phức mà các phần thực và phần ảo của nó là các số nguyên. Các số nguyên Gauss, với phép toán cộng và phép toán nhân các số phức tạo thành một vành, gọi là vành số nguyên Gauss, thường ký hiệu là Z[i]. Các số nguyên Gauss như các điểm mắt lưới trên mặt phẳng phức. Trong vành số nguyên Gauss, ta cũng có thể xây dựng các khái niệm tương tự như trong vành số nguyên như: chia hết, số nguyên tố Gauss, đồng dư,... Khái niệm đóng vai trò quan trọng đối với các số nguyên Gauss là chuẩn của số nguyên Gauss được định nghĩa là: ‖ a + b . i ‖ = a 2 + b 2 {\displaystyle \|a+b.i\|=a^{2}+b^{2}} . Có những kết quả khá thú vị như: nếu ‖ Z ‖ {\displaystyle \|Z\|} là số nguyên tố thì Z là số nguyên tố Gauss. Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu chính A là một vành với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tính đóng của hai phép toán này trên A.
Các điều kiện tương đươngCho R là một vành, tập con A ⊂ {\displaystyle \subset } R. Các mệnh đề sau là tương đương:
Giao của các vành conGiao của họ bất kỳ các vành con của R là vành con của R Bài chi tiết: I-đê-an
là tập hợp các phần tử dạng: a1.x1+a2.x2+...+ak.xktrong đó x1,x2,...,xk ∈ {\displaystyle \in } R
Khi đó có thể chứng minh R/A là một vành, vành này được gọi là vành thương của R theo A.
Cho n là số nguyên dương. Tập n . Z {\displaystyle n.\mathbb {Z} } là ideal của Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . Vành thương Z {\displaystyle \mathbb {Z} } / n . Z {\displaystyle n.\mathbb {Z} } chính là vành các lớp đồng dư theo môđun n.
Vành cùng với đồng cấu vành tạo thành phạm trù các vành, được ký hiệu là Ring (từ "vành" trong tiếng Anh). Ring là một phạm trù lớn, cụ thể. Phạm trù các vành giao hoán được ký hiệu là CRing. CRing tương đương với phạm trù các lược đồ a-phin.
Những người góp công lớn trong việc nghiên cứu vành đại số và ideal là các nhà toán học Đức mà đại diện là: E. Kummer (1810-1893); R. Dedekin (1831-1936) và đặc biệt là nhà toán học nữ E. Noether (1882-1935). Khi chứng minh bài toán Fermat lớn, E. Kummer đã sử dụng phương pháp xuống thang trên tập số nguyên nhưng mọi cố gắng đều thất bại. Để khắc phục ông đã xét bài toán trong lớp vành thực sự chứa Z. Trên lớp vành này ông phải làm việc với các số ideal là mầm mống của khái niệm ideal sau này.người đưa khái niệm ideal là Dedekin và người có công lớn trong việc phát triển lý thuyết vành và ideal trừu tượng là E. Noether.
Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Vành&oldid=66643380” |