- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng \[\Delta \] có phương trình \[{{x - 1} \over 2} = {{y + 1} \over { - 1}} = {z \over 3}.\]
LG a
Viết phương trình hình chiếu của \[\Delta \] trên các mặt phẳng tọa độ.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng\[\Delta \] có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right.\]
Vì điểm M[x, y, z] có hình chiếu trên [Oxy] là M[x, y, 0] nên hình chiếu \[{d_1}\] của\[\Delta \] trên [Oxy] có phương trình tham số là
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = - 1 + t \hfill \cr
z = 0 \hfill \cr} \right.\]
Hình chiếu \[{d_2}\]của \[\Delta \] trên [Oyz] là
\[\left\{ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
y = - 1 - t \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right..\]
Hình chiếu\[{d_3}\] của\[\Delta \] trên [Oxz] là
\[\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr
z = 3t \hfill \cr} \right..\]
LG b
Chứng minh rằng mặt phẳng \[x + 5y + z + 4 = 0\] đi qua đường thẳng \[\Delta \].
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm \[M\left[ {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right] \in \Delta ,\] thay tọa độ của M vào phương trình \[mp\left[ \alpha \right]\] ta có:
\[1 + 2t - 5\left[ {1 + t} \right] + 3t + 4 = 0 \Rightarrow M \in \left[ \alpha \right].\]
Vậy \[\Delta \subset \left[ \alpha \right],\]tức \[mp\left[ \alpha \right]\]đi qua \[\Delta \].
LG c
Tính khoảng cách giữa đường thẳng \[\Delta \] và các trục tọa độ.
Lời giải chi tiết:
\[\Delta \] qua điểm \[M\left[ {1; - 1;0} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1;3} \right].\]
Đường thẳng chứa trục Ox qua O[0; 0; 0] và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow i \left[ {1;0;0} \right]\].
Khoảng cách giữa \[\Delta \] và trục Ox là:
\[{h_1} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = {{3\sqrt {10} } \over {10}}.\]
Khoảng cách giữa\[\Delta \] và trục Oy là:
\[{h_2} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right]} \right|}} = {{\left| { - 3} \right|} \over {\sqrt {{{\left[ { - 3} \right]}^2} + {2^2}} }} = {{3\sqrt {13} } \over {13}}.\]
Khoảng cách giữa \[\Delta \]và trục Oz là:
\[{h_3} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right].\overrightarrow {OM} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right]} \right|}} = {{\left| 1 \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = {{\sqrt 5 } \over 5}.\]
LG d
Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \[\Delta \] và \[\Delta ':x = y = z.\]
Lời giải chi tiết:
Lấy \[P\left[ {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right] \in \Delta ,\,\Delta \] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow u = \left[ {2; - 1;3} \right].\]
\[Q\left[ {t',t',t'} \right] \in \Delta ',\,\,\Delta '\] có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow {u'} \left[ {1;1;1} \right].\]
Ta có \[\overrightarrow {QP} = \left[ {1 + 2t - t', - 1 - t - t',3t - t'} \right].\]
PQ là đường vuông góc chung của\[\Delta \] và\[\Delta '\] khi và chỉ khi \[\overrightarrow {PQ} \bot \overrightarrow u \]và \[\overrightarrow {PQ} \bot \overrightarrow {u'} ,\]tức là:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2\left[ {1 + 2t - t'} \right] - \left[ { - 1 - t - t'} \right] + 3\left[ {3t - t'} \right] = 0 \hfill \cr
1 + 2t - t' - 1 - t - t' + 3t - t' = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
14t - 4t' = - 3 \hfill \cr
4t - 3t' = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - {9 \over {26}} \hfill \cr
t' = - {6 \over {13}} \hfill \cr} \right.. \cr} \]
Do đó \[Q\left[ { - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}; - {6 \over {13}}} \right]\] và \[\overrightarrow {QP} = \left[ {{{20} \over {16}},{{ - 5} \over {16}},{{ - 15} \over {16}}} \right] = {5 \over {16}}\left[ {4; - 1; - 3} \right].\]
Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow v = \left[ {4; - 1; - 3} \right].\]
Do đó PQ có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = - {6 \over {13}} + 4t \hfill \cr
y = - {6 \over {13}} - t \hfill \cr
z = - {6 \over {13}} - 3t \hfill \cr} \right..\]
LG e
Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả\[\Delta \] và \[\Delta '\].
Lời giải chi tiết:
Lấy điểm \[P\left[ {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right] \in \Delta .\]
\[Q\left[ {t',t',t'} \right] \in \Delta '.\]
PQ // Oz \[\Leftrightarrow \overrightarrow {QP} \]cùng phương với
\[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 + 2t - t' = 0 \hfill \cr
- 1 - t - t' = 0 \hfill \cr} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - {2 \over 3} \hfill \cr
t' = - {1 \over 3}. \hfill \cr} \right.\]
Vậy PQ đi qua \[Q\left[ { - {1 \over 3}, - {1 \over 3}, - {1 \over 3}} \right]\]và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow k = \left[ {0;0;1} \right]\]nên PQ có phương trình tham số là:
\[\left\{ \matrix{
x = - {1 \over 3} \hfill \cr
y = - {1 \over 3} \hfill \cr
z = - {1 \over 3} + t \hfill \cr} \right..\]