Đề bài
Hãy chứng minh định lí đảo của định lí trên: Nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] ta chứng minh \[\widehat B = \widehat C\]hoặc \[AB = AC.\]
Lời giải chi tiết
Ta đưa về bài toán: Cho \[ABC\] có hai đường trung tuyến \[BM\] và \[CN\] cắt nhau ở \[G.\] Biết \[BM=CN\], chứng minh tam giác \[ABC\] là tam giác cân.
Vì\[ABC\] có hai đường trung tuyến \[BM\] và \[CN\] cắt nhau ở \[G\]
\[\Rightarrow \] \[G\] là trọng tâm của tam giác \[ABC\].
\[\Rightarrow GB = \dfrac{2}{3}BM\]; \[GC = \dfrac{2}{3}CN\].
Mà \[BM = CN\] [giả thiết] nên \[GB = GC.\]
Tam giác \[GBC\] có \[GB = GC\] nên \[GBC\] cân tại \[G\].
\[\Rightarrow \]\[\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\] [Tính chất tam giác cân].
Xét \[BCN\] và \[CBM\] có:
+] \[BC\] là cạnh chung
+] \[CN = BM\] [giả thiết]
+] \[\widehat{GCB} = \widehat{GBC}\][chứng minh trên]
Suy ra \[BCN =CBM\] [c.g.c]
\[\Rightarrow \] \[\widehat{NBC} = \widehat{MCB}\] [hai góc tương ứng].
\[\Rightarrow ABC\] cân tại \[A\] [tam giác có hai góc bằng nhau là tam giác cân] [điều phải chứng minh].