Lý thuyết về giới hạn của dãy số.
Tóm tắt lý thuyết
1. Giới hạn hữu hạn
+]\[\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = 0\] khi và chỉ khi \[|u_n|\] có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+]\[\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = a \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim }[u_{n}-a] = 0\].
2. Giới hạn vô cực
+]\[\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n}= +\] khi và chỉ khi \[u_n\] có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
+\[\underset{n\rightarrow +\infty }{lim }u_{n} = - \Leftrightarrow \underset{n\rightarrow +\infty }{lim}[-u_{n}]= +\].
3. Các giới hạn đặc biệt
a] \[\lim \frac{1}{n} = 0\];
\[\lim \frac{1}{n^{k}} = 0\];
\[\lim n^k= +\], với \[k\] nguyên dương.
b] \[\lim q^n=0\] nếu \[|q| < 1\];
\[\lim q^n=+\] nếu \[q > 1\].
c] \[\lim c = c\] [\[c\] là hằng số].
4. Định lí về giới hạn hữu hạn
a] Nếu \[\lim u_n=a\] và \[\lim v_n= b\], thì:
\[lim\left[ {{u_{n}}+{v_n}} \right]= a +b\]
\[lim{\rm{ }}[{u_n} - {v_n}]{\rm{ }} = {\rm{ }}a - b\]
\[lim{\rm{ }}[{u_n}.{v_n}] = ab\]
\[lim{{{u_n}} \over {{v_n}}} = {a \over b}\][nếu \[b 0\]].
b] Nếu \[u_n 0\] với mọi \[n\] và \[lim u_n=a\] thì \[a > 0\] và \[lim \sqrt{u_n}= \sqrt a\].
5. Định lí liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
a] Nếu \[\lim u_n=a\] và \[\lim v_n=± \] thì \[\lim \frac{u_{n}}{v_{n}}= 0\].
b]Nếu \[\lim u_n=a > 0\], \[\lim v_n=0\] và \[v_n>0\] với mọi \[n\] thì \[\lim \frac{u_{n}}{v_{n}} =+\]
c] Nếu \[\lim u_n=+\] và \[\lim v_n=a > 0\] thì \[\lim [u_n.v_n]=+\].
6. Cấp số nhân lùi vô hạn
+ Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội \[q\] thỏa mãn \[|q|