Đề bài
Cho hai đường thẳng: \[d\]:\[\left\{\begin{matrix} x=1-t \\ y=2+2t \\ z=3t \end{matrix}\right.\] và \[d'\]:\[\left\{\begin{matrix} x=1+t' \\ y=3-2t' \\ z=1 \end{matrix}\right.\].
Chứng minh \[d\] và \[d'\] chéo nhau.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xác định các VTCP của \[d\] và \[d'\],chứng minh 2 vector đó không cùng phương.
Sử dụng điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau:\[\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \ne 0\] với\[{\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} }\] lần lượt là VTCP của \[d, d'\] và\[{M_1} \in d;\,\,{M_2} \in d'\].
Lời giải chi tiết
Đường thẳng \[d\] qua điểm \[M[1 ; 2 ; 0]\] và có vec tơ chỉ phương\[\overrightarrow{u}[-1 ; 2 ; 3]\].
Đường thẳng \[d'\] qua điểm \[M'[1 ; 3 ;1]\] và có vectơ chỉ phương\[\overrightarrow{u'}[1 ; -2 ; 0]\].
Dễ thấy\[{\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} }\] không cùng phương, do đó d và d' hoặc cắt nhau, hoặc chéo nhau.
Xét\[\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]\] \[=\left [\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 1& -2 \end{vmatrix} \right ] \] \[= [6 ; 3 ;0]\]
\[\overrightarrow{MM'} = [0 ; 1 ; 1]\].
Ta có :\[\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}\] \[= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3 0\]
Vậy \[d\] và \[d'\] chéo nhau.
Cách khác:
Có hai VTCP của hai đường thẳng không cùng phương [cmt]
Xét hệ:
\[\left\{ \begin{array}{l}1 - t = 1 + t'\\2 + 2t = 3 - 2t'\\3t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 0\\2t + 2t' = 1\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t + t' = 0\\t + t' = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\left[ {VN} \right]\]
Vậy hai đường thẳng chéo nhau.