Đề bài
Chứng minh các bất đẳng thức \[\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\]với mọi \[n \in N*\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với \[0\].
Lời giải chi tiết
\[\eqalign{
& {{{n}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - [{n^2} + 1]} \over {2[{n^2} + 1]}} \cr & = \frac{{ - {n^2} + 2n - 1}}{{2\left[ {{n^2} + 1} \right]}} = \frac{{ - \left[ {{n^2} - 2n + 1} \right]}}{{2\left[ {{n^2} + 1} \right]}}\cr &= {{ - {{[n - 1]}^2}} \over {2[{n^2} + 1]}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& \text{Vì } 2\left[ {{n^2} + 1} \right] > 0\text { và } - {\left[ {n - 1} \right]^2} \le 0,\forall n\in N^*\cr &\Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} \cr &= {{{{[n - 1]}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr
& \text{Vì }2n > 0\text { và } {\left[ {n - 1} \right]^2} \ge 0,\forall n\in N^*\cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr} \]