- LG a
- LG b
Câu 1. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC và AD.
LG a
Chứng minh rằng 6 điểm B, C, D, B, C, D nằm trên một mặt cầu. Tìm bán kính của mặt cầu đó.
Lời giải chi tiết:
Câu 1.
Ta có: \[B'C' = C'D' = D'B' = {a \over 2} \Rightarrow \Delta B'C'D'\] là tam giác đều cạnh \[{a \over 2}.\]
Và \[AB' = AC' = AD' = {a \over 2} \Rightarrow \]ABCD là tứ diện đều cạnh \[{a \over 2}.\]
Gọi O và O lần lượt là tâm các tam giác đều BCD và BCD.
Vì từ diện ABCD đều nên \[AO \bot \left[ {BCD} \right]\].
Vì từ diện ABCD đều nên \[AO' \bot \left[ {B'C'D'} \right]\].
Mà [BCD] // [BCD]
Gọi E là trung điểm của CD. Dễ thấy tam giác EAB cân tại E nên \[B'E \bot AB.\]
Gọi H là trung điểm của BB', trong [ABE] kẻ đường thẳng d qua H và song song với BE cắt AO tại I.
\[ \Rightarrow HI \bot AB.\]
Ta có: \[I \in HI \Rightarrow IB = IB'\]
\[\eqalign{
& I \in OA \Rightarrow IB = IC = ID \cr
& I \in O'A \Rightarrow IB' = IC' = ID' \cr} \]
Từ đó suy ra \[IB = IC = ID = IB = IC = ID\].
Vậy điểm I cách đều 6 điểm B, C, D, B, C, D hay 6 điểm B, C, D, B, C, D cùng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R = IB.
Gọi \[J = B'E \cap AO.\]
Tam giác BCD đều cạnh a nên \[BE = {{a\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow OE = {1 \over 3}BE = {{a\sqrt 3 } \over 6}.\]
Tam giác BCD đều cạnh \[{a \over 2}\]nên \[B'F = {{{a \over 2}\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 4} \Rightarrow B'O' = {2 \over 3}B'F = {{a\sqrt 3 } \over 6}.\]
Vì BF // BE nên theo định lí Ta-let ta có: \[{{B'J} \over {JE}} = {{B'O'} \over {OE}} = 1 \Rightarrow B'J = JE. \Rightarrow B'J = {1 \over 2}B'E.\]
Tam giác ACD đều cạnh a nên \[AE = {{a\sqrt 3 } \over 2},AB' = {1 \over 2}AB = {a \over 2}.\]
Xét tam giác vuông ABE có: \[B'E = \sqrt {A{E^2} - AB{'^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}} = {{a\sqrt 2 } \over 2} \Rightarrow B'J = {{a\sqrt 2 } \over 4}.\]
BJ // HI nên theo định lí Ta let ta có: \[{{B'J} \over {HI}} = {{AB'} \over {AH}} = {2 \over 3} \Rightarrow HI = {{3B'J} \over 2} = {{3{{a\sqrt 2 } \over 4}} \over 2} = {{3a\sqrt 2 } \over 8}\].
Xét tam giác vuông BHI có:
\[BI = \sqrt {B{H^2} + H{I^2}} = \sqrt {{{{a^2}} \over {16}} + {{9{a^2}} \over {32}}} = \sqrt {{{11{a^2}} \over {32}}} = {{a\sqrt {22} } \over 8} = R.\]
LG b
Tính thể tích khối chóp D.BCCB.
Lời giải chi tiết:
\[ \Rightarrow {{{V_{D.BCC'B'}}} \over {{V_{D.ABC}}}} = {3 \over 4} \Rightarrow {V_{D.BCC'B'}} = {3 \over 4}{V_{ABCD}}.\]
Xét tam giác vuông AOE có:
\[\eqalign{
& AO = \sqrt {A{E^2} - O{E^2}} = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over {12}}} = {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr
& {S_{BCD}} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} \cr
& \Rightarrow {V_{ABCD}} = {1 \over 3}AO.{S_{BCD}} = {1 \over 3}.{{a\sqrt 6 } \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}}. \cr
& \Rightarrow {V_{D.BCC'B'}} = {3 \over 4}{{{a^3}\sqrt 2 } \over {12}} = {{{a^3}\sqrt 2 } \over {16}}. \cr} \]