- LG a
- LG b
Cho dãy số [un] xác định bởi
\[{u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {u_n} + \left[ {n + 1} \right]{.2^n}\] với mọi \[n 1\]
LG a
Chứng minh rằng [un] là một dãy số tăng.
Lời giải chi tiết:
Từ hệ thức xác định dãy số [un], ta có:
\[{u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {n + 1} \right]{.2^n} > 0\;\forall n \ge 1.\]
Do đó [un] là một dãy số tăng.
LG b
Chứng minh rằng
\[{u_n} = 1 + \left[ {n - 1} \right]{.2^n}\] với mọi \[n 1\].
Lời giải chi tiết:
Ta sẽ chứng minh \[{u_n} = 1 + \left[ {n - 1} \right]{.2^n}\] [1] với mọi \[n 1\], bằng phương pháp qui nạp.
+] Với \[n = 1\], ta có \[{u_1} = 1 = 1 + \left[ {1 - 1} \right]{.2^1}.\] Như vậy [1] đúng khi \[n = 1\]
+] Giả sử [1] đúng khi \[n = k, k \in\mathbb N^*\], tức là:
\[{u_k} = 1 + \left[ {k - 1} \right]{2^k}\]
+] Ta sẽ chứng minh [1] cũng đúng với \[n = k + 1\].
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số [un] và giả thiết qui nạp, ta có :
\[{u_{k + 1}} = {u_k} + \left[ {k + 1} \right]{.2^k} \]
\[= 1 + \left[ {k - 1} \right]{.2^k} + \left[ {k + 1} \right]{.2^k} \]
\[= 1 + k{.2^k} - {2^k} + k{.2^k} + {2^k} \]
\[= 1 + 2k{.2^k}= 1 + k{.2^{k + 1}}\]
Vậy [1] đúng với mọi \[n 1\].