Đề bài
Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng:
\[{\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c - b}}a\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dùng công thức \[{\log _b}a = \frac{1}{{{{\log }_a}b}}\] đưa các số hạng trong biểu thức về cùng cơ số a.
Lời giải chi tiết
Ta có: \[{\log _{b + c}}a + {\log _{c - b}}a = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c + b}}a\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_a}\left[ {b + c} \right]}} + {1 \over {{{\log }_a}\left[ {c - b} \right]}} = {2 \over {{{\log }_a}\left[ {b + c} \right].{{\log }_a}\left[ {c - b} \right]}} \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}\left[ {c - b} \right] + {\log _a}\left[ {b + c} \right] = 2 \cr
& \Leftrightarrow {\log _a}[\left[ {c - b} \right]\left[ {b + c} \right]] = 2 \cr
&\Leftrightarrow {\log _a}\left[ {{c^2} - {b^2}} \right] = 2\cr&\Leftrightarrow {c^2} - {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} \cr} \]
Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có \[{a^2} + {b^2} = {c^2}\] [luôn đúng]
Từ đó suy ra đpcm.