Đề bài
Lập phương trình đường thẳng \[\Delta \] đi qua \[Q[2 ; 3]\] và cắt các tia \[Ox, Oy\] tại hai điểm \[M, N\] khác điểm \[O\] sao cho \[OM+ON\] nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Giả sử \[M=[m ; 0], N=[0 ; n]\] với \[m, n >0\]. Phương trình của \[\Delta \] là \[ \dfrac{x}{m} + \dfrac{y}{n} = 1\].
\[Q \in \Delta \Rightarrow \dfrac{2}{m} + \dfrac{3}{n} = 1 \Rightarrow n = \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\] [dễ thấy \[m \ne 2\]]. Do \[n > 0\] nên \[m > 2.\]
Áp dụng bất đẳng thức cô-si, ta có
\[\begin{array}{l}OM + ON = m + n = m + \dfrac{{3m}}{{m - 2}}\\= m - 2 + \dfrac{6}{{m - 2}} + 5\\ \ge 2\sqrt {[m - 2] \dfrac{6}{{m - 2}}} + 5 = 2\sqrt 6 + 5\end{array}\]
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \[m - 2 = \dfrac{6}{{m - 2}}\] hay \[m = 2 + \sqrt 6 \] [do \[m > 0\]].
Suy ra \[n = 3 + \sqrt 6 \]. Vậy \[OM+ON\] nhỏ nhất bằng \[2\sqrt 6 + 5\] khi \[m = 2 + \sqrt 6 \] và \[n = 3 + \sqrt 6 \]. Khi đó phương trình của \[\Delta \] là \[ \dfrac{x}{{2 + \sqrt 6 }} = \dfrac{y}{{3 + \sqrt 6 }} = 1\].