Đề bài - bài 24 trang 9 sbt hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABCD\) có chung đỉnh \(A\). Chứng minh rằng

a) \(\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow 0 \);

b) Hai tam giác \(BCD\) và \(BCD\) có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {DD'} \cr & = \overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {AD'} - \overrightarrow {AD} \cr & = (\overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {AB'} ) - \overrightarrow {AC'} - (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {AC} \cr & = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} \cr & = \overrightarrow 0 \cr} \)

b) Với điểm G bất kì, ta có

\(\eqalign{ & \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC'} + \overrightarrow {GD} \cr & = \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {GD'} + \overrightarrow {D'D} \cr & = \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD'} + (\overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {D'D} ) \cr & = \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD'} \cr} \)

Suy ra nếu G là trọng tâm tam giác BC'D thì:

\(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC'} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD'} = \overrightarrow 0 \)

Vậy trọng tâm hai tam giác \(BCD\) và \(BCD\) trùng nhau.