Đề bài
Cho các hình thoi \[ABCD\] có cạnh \[AB\] cố định. Tìm quỹ tích giao điểm \[O\] của hai đường chéo của các hình thoi đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với đoạn thẳng \[AB\] và góc \[\alpha\, \, [0^0 < \alpha < 180^0]\] cho trước thì quỹ tích các điểm \[M\] thỏa mãn \[\widehat{AMB}=\alpha\] là hai cung chứa góc \[\alpha\] dựng trên đoạn \[AB.\]
Lời giải chi tiết
Dự đoán: Quỹ tích cần tìm là nửa đường tròn đường kính AB.
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau hay \[AC \bot BD\] tại \[O.\]
Vậy điểm \[O\] nhìn \[AB\] cố định dưới góc \[90^0.\]
\[\Rightarrow \] Quỹ tích điểm \[O\] là nửa đường tròn đường kính \[AB.\]
Phần đảo:
Chứng minh với mọi điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB ta đều có hình thoi ABCD thỏa mãn đề bài.
+ Lấy điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB
+ Lấy C đối xứng với A qua O
+ Lấy D đối xứng với B qua O.
Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O là trung điểm mỗi đường
ABCD là hình bình hành.
Mà O thuộc nửa đường tròn đường kính AB
\[\widehat {AOB} = {90^0}\]
AC DB
Hình bình hành ABCD là hình thoi.
Kết luận: Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB [khác A và B]