Đề bài
Cho góc \[xOy\] khác góc bẹt. Trên tia \[Ox\] lấy hai điểm \[A\] và \[B\], trên tia \[Oy\] lấy hai điểm \[C\] và \[D\] sao cho \[OA = OC, OB = OD.\] Gọi \[I\] là giao điểm của hai đoạn thẳng \[AD\] và \[BC.\] Chứng minh rằng:
a] \[BC = AD\]
b] \[IA = IC, IB = ID\]
c] Tia \[OI\] là tia phân giác của góc \[xOy\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh dựa vào các tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết
a] Xét \[ AOD\] và \[COB\] có:
+] \[OA = OC\] [giả thiết]
+] \[OD = OB\][giả thiết]
+] \[\widehat{xOy}\]là góc chung
Vậy \[AOD = COB\] [c.g.c]
Suy ra \[AD = BC\] [hai cạnh tương ứng] [điều phải chứng minh].
b] Vì \[AOD = COB\] [câu a] nên \[\widehat{D} = \widehat{B}\] và\[\widehat{C_1} = \widehat{A_1}\]
Ta có: \[OA + AB = OB\] \[\Rightarrow AB = OB - OA = OD - OC = CD\]
Hay \[AB=CD\]
Ta có:\[\widehat{A_1} + \widehat{A_2} = 180^o\] [\[2\] góc kề bù]
\[\Rightarrow\]\[\widehat{A_2} = 180^o - \widehat{A_1} = 180^o - \widehat{C_1} = \widehat{C_2}\]
Xét \[AIB\] và \[CID\] ta có:
+] \[AB = CD\][chứng minh trên]
+] \[\widehat{B} = \widehat{D}\][chứng minh trên]
+] \[\widehat{A_2} = \widehat{C_2}\][chứng minh trên]
Vậy \[AIB = CID\] [g.c.g]
\[\Rightarrow IC = IA\] và \[ID = IB\] [hai cạnh tương ứng]
c] Xét \[OAI\] và \[ OCI\] ta có:
+] \[OA = OC\] [giả thiết]
+] \[\widehat{A_1} = \widehat{C_1}\] [chứng minh trên]
+] \[IA = IC\] [chứng minh trên]
Vậy \[ OAI = OCI\] [c.g.c]
\[\Rightarrow\widehat{AOI} = \widehat{COI}\]
\[\Rightarrow\] \[OI\] là phân giác của\[\widehat{xOy}\].