- LG a
- LG b
LG a
Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1và x2thỏa mãn các hệ thức :
x1+ x2+ x1x2=0;
m[x1+ x2] - x1x2= 3m + 4
Lời giải chi tiết:
Đặt S = x1+ x2và P = x1x2
Các điều kiện của bài toán được thể hiện qua hệ phương trình [ẩn S và P]
\[\left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr
mS - P = 3m + 4 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr
S[m + 1] = 3m + 4\,\,\,[1] \hfill \cr} \right.\]
+ Khi m = -1 thì [1] vô nghiệm, nghĩa là không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.
+ Khi m -1 thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow S = \dfrac{{3m + 4}}{{m + 1}} \] \[ \Rightarrow S = - P = - \dfrac{{3m + 4}}{{m + 1}}\]
Vậy phương trình cần tìm là:
\[\eqalign{
& {x^2} - Sx + P = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {{3m + 4} \over {m + 1}}x - {{3m + 4} \over {m + 1}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow [m + 1]{x^2} - [3m + 4]x - [3m + 4] = 0\,\,\,\,\,\,\,[3] \cr} \]
Điều kiện để phương trình [3] có nghiệm là:
\[\eqalign{
& \Delta = {[3m + 4]^2} + 4[m + 1][3m + 4] \ge 0\cr&\Leftrightarrow [3m + 4][7m + 8] \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le - {4 \over 3} \hfill \cr
m \ge - {8 \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,[4] \cr} \]
Tóm lại, phương trình cần tìm là phương trình [3] với điều kiện của m là m -1 và thỏa mãn [4].
LG b
Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m.
Lời giải chi tiết:
Nếu S=0 thì P=0 hay \[m = - {4 \over 3}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất x=0.
Nếu S>0 \[\Leftrightarrow \frac{{3m + 4}}{{m + 1}} > 0\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - {4 \over 3} \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right.\]
thì P=-S - 1 \hfill \cr} \right.\] [3] có hai nghiệm trái dấu
+ Nếu \[m = - {4 \over 3}\]thì phương trình [3] có một nghiệm kép x = 0
+ Nếu \[- {8 \over 7} \le m < 1\]thì P > 0; S < 0 nên phương trình [3] có hai nghiệm âm.
+ Nếu \[- {4 \over 3} < m < - {8 \over 7}\] thì phương trình [3] vô nghiệm.