Bài tập phương trình bậc 4

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN

Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng
x4+ax3+bx2+cx+d=0trong đóa,b,c,dlà các số thực khác không:
1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định
3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4
4. Phương pháp đồ thị.

CÁC PHƯƠNG PHÁP:

1. Biến đổi hợp lí và sáng tạo trong một số trường hợp cụ thể.

Ví dụ 1.
Giải phương trình (x2a)26×2+4x+2a=0 (1)

Giải:
Phương trình (1) được viết thành

x42ax2+a26×2+4x+2a=0

hayx4(2a+6)x2+4x+a2+2a=0 (2)

Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không đuợc học cách giải.
Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng

a22(x21)a+x46×2+4x=0 (3)

Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a.
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:

Ví dụ 2.
Giải phương trình x4x35×2+4x+4=0 (1)

Giải:
Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng:

x3x2(4×24x4)=0

x2(x2x1)4(x2x1)=0

(x24)(x2x1)=0

Vậy (1) có 4 nghiệm là

Ví dụ 3.
Giải phương trình
32×448×310×2+21x+5=0 (1)

Giải:
Ta viết (1) dưới dạng:

2(16×424×3+9×2)7(4×23x)+5=0

Và đặt: y=4×23x thì (1) được biến đổi thành

2y27y+5=0

Từ đó y1=1 và y2=5/2

Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay y1=1 và y2=5/2 vào y=4×23x ):

4×23x1=0

Và 8×26x5=0

Ta sẽ đuợc các nghiệm của (1).

Ví dụ 4.
Giải phương trình

2×4+3×316×2+3x+2=0 (1)

Giải:

Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi e/a=(d/b)2)

Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho x2 (khác không) thì (1) tương đuơng với

Như vậy, với các ví dụ 2,3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải các phương trình và phương trình quen thuộc.

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.

Ví dụ 5.
Giải phương trình:

x4+4×310×2+37x14=0 (1)

Giải:

Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x2+px+q và x2+rx+s , trong đó

p,q,r,s là các hệ số nguyên chưa xác định.

Ta có:

x4+4×310×2+37x14=(x2+px+q)(x2+rx+s) (2)

Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau

Lưu ý:

Trong một số truờng hợp ta không thể dùng phương pháp này vì nhiều khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên.

3. Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc 4

Dụng ý của ta là phân tích đa thức x4+ax3+bx2+cx+d thành hai nhân tử bậc hai

Dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau:

Ví dụ 6.

Giải phương trình: x4x37×2+x+6=0

Giải:
Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc h:

4. Phương pháp đồ thị.

Phương pháp:

Để giải phương trình bậc bốn

x4+ax3+bx2+cx+d=0 (1)

bằng đồ thị, ta hãy đặt x2=ymx

Phương trình (1) trở thành: y22mxy+m2x2+axyaxm2+bx2+cx+d=0

Để khử đuợc các số hạng có xy trong phương trình này thì phải có:

Cách giải phương trình bậc 4

Cách giải phương trình đa thức bậc bốn tổng quát

Phương trình bậc bốn tổng quát:

ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a0,a,b,c,d,eR) ta luôn đưa được phương trình về dạng x4+ax3+bx2+cx+d=0 bằng cách chia hai vế phương trình choa.

Vậy ta xét phương trình:x4+ax3+bx2+cx+d=0.

Để giải phương trình này ta thực hiện nhóm hằng đẳng thức như sau: