Đề bài
Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm \[A[-1 ; 0],\] \[B[1 ; 2]\] và tiếp xúc với đường thẳng \[x - y - 1 = 0\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[I[a ;b]\] và \[R\] là tâm và bán kính của đường \[[C]\] cần tìm. Phương trình của \[[C]\] là \[{[x - a]^2} + {[y - b]^2} = {R^2}\].
\[[C]\] tiếp xúc với \[\Delta : x - y - 1 = 0\] khi và chỉ khi
\[\begin{array}{l}d[I; \Delta ] = R \Leftrightarrow \dfrac{{|a - b - 1|}}{{\sqrt 2 }} = R\\A, B \in [C] \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{[ - 1 - a]^2} + {b^2} = {R^2}\\{[1 - a]^2} + {[2 - b]^2} = {R^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{[a + 1]^2} + {b^2} = \dfrac{{{{[a - b - 1]}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[1]\\{[a - 1]^2} + {[b - 2]^2} = \dfrac{{{{[a - b - 1]}^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[2]\end{array} \right.\end{array}\]
Từ [1] và [2] suy ra:
\[{[a + 1]^2} + {b^2} = {[a - 1]^2} + {[b - 2]^2} \]
\[ \Leftrightarrow a = 1 - b\].
Thay \[a=1-b\] vào [2], ta có:
\[{b^2} + {[b - 2]^2} = 2{b^2} \]
\[ \Rightarrow b = 1 \Rightarrow a = 0, R = \sqrt 2 \].
Phương trình của \[[C]: {x^2} + {[y - 1]^2} = 2\].