Đề bài
Xác định độ dài trục thực, trục ảo; tiêu cự; tâm sai; tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh và phương trình các đường tiệm cận của mỗi hypebol có phương trình sau
a] \[ \dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1;\]
b] \[4{x^2} - {y^2} = 4;\]
c] \[16{x^2} - 25{y^2} = 400;\]
d] \[16{x^2} - 9{y^2} = 16;\]
e] \[{x^2} - {y^2} = 1;\]
f] \[m{x^2} - n{y^2} = 1 [m > 0, n > 0].\]
Vẽ các hypebol có phương trình ở câu a], b] và e].
Lời giải chi tiết
a] \[{a^2} = 16 \Rightarrow a = 4 ; \] \[ {b^2} = 4 \Rightarrow b = 2; \] \[ {c^2} = {a^2} + {b^2} = 20 \Rightarrow c = 2\sqrt 5 \].
Độ dài trục thực : \[2a=8.\]
Độ dài trục ảo : \[2b=4.\]
Tiêu cự: \[2c = 4\sqrt 5 \], tâm sai \[e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\].
Các tiêu điểm : \[{F_1}[ - 2\sqrt 5 ; 0] , {F_2}[2\sqrt 5 ; 0]\]
Các đỉnh : \[{A_1}[ - 4 ; 0] , {A_2}[4 ; 0]\].
Các tiệm cận : \[y = \pm \dfrac{b}{a}x = \pm \dfrac{1}{2}x\]
Hypebol được vẽ như hình 115.
b], c], d], e] làm tương tự.
f] Viết lại phương trình hypebol:
\[\begin{array}{l} \dfrac{{{x^2}}}{{ \dfrac{1}{m}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{ \dfrac{1}{n}}} = 1.\\{a^2} = \dfrac{1}{m} \Rightarrow a = \dfrac{1}{{\sqrt m }} ,\\ {b^2} = \dfrac{1}{n} \Rightarrow b = \dfrac{1}{{\sqrt n }}.\\{c^2} = {a^2} + {b^2} = \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} \\ \Rightarrow c = \sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} .\end{array}\]
Độ dài trục thực : \[2a = \dfrac{2}{{\sqrt m }}\] , độ dài trục ảo : \[2b = \dfrac{2}{{\sqrt n }}\].
Tiêu cự : \[2c = 2\sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} \].
Các tiêu điểm : \[{F_1} = \left[ { - \sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} ; 0} \right] ,\] \[ {F_2} = \left[ {\sqrt { \dfrac{{m + n}}{{mn}}} ; 0} \right]\].
Các đỉnh : \[{A_1} = \left[ { - \dfrac{1}{{\sqrt m }} ; 0} \right] , {A_2} = \left[ { \dfrac{1}{{\sqrt m }} ; 0} \right]\].
Các tiệm cận: \[y = \pm \sqrt { \dfrac{m}{n}} .x\].