Đề bài
Cho hình bình hành \[ABCD.\] Gọi \[E,\] \[F\] theo thứ tự là trung điểm của \[AB,\] \[CD.\] Gọi \[M\] là giao điểm của \[AF\] và \[DE,\] \[N\] là giao điểm của \[BF\] và \[CE.\] Chứng minh rằng :
\[a]\] \[EMFN\] là hình bình hành.
\[b]\] Các đường thẳng \[AC,\] \[EF,\] \[MN\] đồng quy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+] Trong hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
+] Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+] Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình bình hành nên \[AB//CD\] và \[AB=CD\] [tính chất]
Ta có: \[AE = EB = \dfrac{{AB}}{2}\] [vì E là trung điểm của AB]
\[DF= CF = \dfrac{{DC}}{2}\] [vì F là trung điểm của CD]
Mà\[AB=CD\] [cmt]
Suy ra \[AE=EB=DF=FC\]
Xét tứ giác \[AECF,\] có:
\[AE = CF\] [cmt]
\[AE // CF\] [do\[AB // CD\;]\]
Suy ra tứ giác \[AECF\] là hình bình hành [ vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau]
\[AF // CE\] hay \[EN // FM \;\;[1]\]
Xét tứ giác \[BFDE,\] có:
\[BE = DF\] [cmt]
\[BE // DF\] [do \[AB // CD\]]
Suy ra tứ giác \[BFDE\] là hình bình hành [vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
\[BF // DE\] hay \[EM // FN \;\;[2]\]
Từ \[[1]\] và \[[2]\] suy ra tứ giác \[EMFN\] là hình bình hành [theo định nghĩa]
\[b]\] Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[EF\]
Tứ giác \[AECF\] là hình bình hành \[OE = OF\]
Tứ giác \[EMFN\] là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra: \[MN\] đi qua trung điểm \[O\] của \[EF\]
Vậy \[AC, EF, MN \] đồng quy tại \[O.\]