- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tìm điều kiện của \[x\] để giá trị của biểu thức được xác định và chứng minh rằng với điều kiện đó biểu thức không phụ thuộc vào biến:
LG a
\[\displaystyle {\displaystyle {x - {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\]
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \[x\] để giá trị tương ứng của biểu thức khác \[0\].
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle{{x - \displaystyle {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\]
Ta có: \[x - \displaystyle{1 \over x}\] xác định khi \[x 0\]
\[\displaystyle{{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}\] xác định khi \[x 0\]
\[\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x} \ne 0\] \[ \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - 2x - 2}}{x} \ne 0\] \[\displaystyle \Rightarrow {{{x^2} - 1} \over x} \ne 0\]
\[ \Rightarrow {x^2} - 1 \ne 0\] \[ \Rightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right] \ne 0 \]\[\Rightarrow x \ne - 1\] và \[x \ne 1 \]
Vậy với \[x 0, x 1\] và \[x -1\] thì biểu thức xác định.
Ta có:
\[\displaystyle {{x - \displaystyle {1 \over x}} \over {\displaystyle {{{x^2} + 2x + 1} \over x} - {{2x + 2} \over x}}}\]\[ \displaystyle = {\displaystyle {{{{x^2} - 1} \over x}} \over {\displaystyle{{{x^2} - 1} \over x}}}\]\[\displaystyle = {\displaystyle {{x^2} - 1} \over x}.{x \over {{x^2} - 1}} = 1\]
Vậy với điều kiện\[x 0, x 1\] và \[x -1\] thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \[x.\]
LG b
\[\displaystyle{\displaystyle {{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\]
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \[x\] để giá trị tương ứng của biểu thức khác \[0\].
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {\displaystyle {{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\]
Ta có: \[\displaystyle {x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}\] xác định khi \[x + 1 0\] và \[x 1 0\]\[\Rightarrow x \ne \pm 1\]
\[\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}\] xác định khi \[x 1 0\] và \[{x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 1\]
\[\displaystyle{{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}} \ne 0\]\[ \Rightarrow \displaystyle{{\left[ {2x + 2} \right]\left[ {x + 1} \right] - 4x} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} \ne 0\]
\[ \Rightarrow \displaystyle{{2{x^2} + 2x + 2x + 2 - 4x} \over {\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} \ne 0\]\[ \Rightarrow \displaystyle {{2{x^2} + 2} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} \ne 0\] với mọi \[x\]
Vậy điều kiện để biểu thức xác định là \[x 1\] và \[x -1\]
Ta có:
\[\displaystyle {\displaystyle{{x \over {x + 1}} + {1 \over {x - 1}}} \over {\displaystyle {{2x + 2} \over {x - 1}} - {{4x} \over {{x^2} - 1}}}}\]
\[ \displaystyle = {\displaystyle {{{x\left[ {x - 1} \right] + \left[ {x + 1} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}} \over {\displaystyle {{2{x^2} + 2} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}}}\]
\[ = \dfrac{{{x^2} - x + x + 1}}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}:\dfrac{{2\left[ {{x^2} + 1} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}}\]
\[ = \displaystyle {{{x^2} + 1} \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}.{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]} \over {2\left[ {{x^2} + 1} \right]}}\]\[\displaystyle = {1 \over 2}\]
Vậy với điều kiện\[ x 1\] và \[x -1\]thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \[x.\]
\[x 0, x 1\] và \[x -1\]
LG c
\[\displaystyle{1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\]\[.\displaystyle\left[ {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right]\]
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \[x\] để giá trị tương ứng của biểu thức khác \[0\].
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle {1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\]\[.\displaystyle \left[ {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right]\]
Biểu thức xác định khi \[x 1 0,\] \[{x^2} - 2x + 1 \ne 0\] và \[{x^2} - 1 \ne 0\]
\[x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1\]
\[ {x^2} - 2x + 1 \ne 0 \Rightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} \ne 0\]\[ \Rightarrow x \ne 1 \]
\[ {x^2} - 1 \ne 0 \Rightarrow \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right] \ne 0 \]\[\Rightarrow x \ne - 1\] và \[x \ne 1 \]
Vậy biểu thức xác định với \[x -1\] và \[x 1\]
Ta có: \[\displaystyle {1 \over {x - 1}} - {{{x^3} - x} \over {{x^2} + 1}}\]\[.\displaystyle \left[ {{x \over {{x^2} - 2x + 1}} - {1 \over {{x^2} - 1}}} \right]\]
\[\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left[ {{x^2} - 1} \right]} \over {{x^2} + 1}}\]\[.\displaystyle\left[ {{x \over {{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} - {1 \over {\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}} \right]\]
\[\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]} \over {{x^2} + 1}}\]\[\displaystyle\displaystyle.{{x\left[ {x + 1} \right] - \left[ {x - 1} \right]} \over {\left[ {x + 1} \right]{{\left[ {x - 1} \right]}^2}}} \]\[\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left[ {{x^2} + x - x + 1} \right]} \over {\left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}}\]\[\displaystyle = {1 \over {x - 1}} - {{x\left[ {{x^2} + 1} \right]} \over {\left[ {{x^2} + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]}} \]\[\displaystyle= {1 \over {x - 1}} - {x \over {x - 1}} \]\[\displaystyle = {{ - \left[ {x - 1} \right]} \over {x - 1}} = - 1 \]
Vậy với điều kiện\[x 1\] và \[x -1\]thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \[x.\]
LG d
\[\displaystyle\left[ {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right]\]\[:\displaystyle{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\]
Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện của \[x\] để giá trị tương ứng của biểu thức khác \[0\].
- Thực hiện các phép tính theo đúng quy tắc, chứng minh biểu thức đã cho có giá trị là một hằng số.
Lời giải chi tiết:
\[\displaystyle\left[ {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right]\]\[:\displaystyle{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}} + {x \over {6 - x}}\]
Biểu thức xác định khi \[{x^2} - 36 \ne 0,\] \[{x^2} + 6x \ne 0,\] \[6 - x \ne 0,\] \[2x - 6 \ne 0 \]
+] \[{x^2} - 36 \ne 0 \Rightarrow \left[ {x - 6} \right]\left[ {x + 6} \right] \ne 0\]\[ \Rightarrow x \ne 6\] và \[x \ne - 6 \]
+] \[{x^2} + 6x \ne 0 \Rightarrow x\left[ {x + 6} \right] \ne 0\]\[ \Rightarrow x \ne 0\] và \[x \ne - 6 \]
+] \[ 6 - x \ne 0 \Rightarrow x \ne 6 \];
+] \[ 2x - 6 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3 \].
Vậy \[x 0,\] \[x 3,\] \[x 6\] và \[x -6\] thì biểu thức xác định.
Ta có : \[\displaystyle \left[ {{x \over {{x^2} - 36}} - {{x - 6} \over {{x^2} + 6x}}} \right]:{{2x - 6} \over {{x^2} + 6x}}\]\[ + \displaystyle {x \over {6 - x}}\]
\[\displaystyle = \left[ {{x \over {\left[ {x + 6} \right]\left[ {x - 6} \right]}} - {{x - 6} \over {x\left[ {x + 6} \right]}}} \right]\]\[:\displaystyle {{2x - 6} \over {x\left[ {x + 6} \right]}} + {x \over {6 - x}}\]\[\displaystyle = {{{x^2} - {{\left[ {x - 6} \right]}^2}} \over {x\left[ {x + 6} \right]\left[ {x - 6} \right]}}.{{x\left[ {x + 6} \right]} \over {2\left[ {x - 3} \right]}}\]\[\displaystyle + {x \over {6 - x}}\]\[\displaystyle = {{{x^2} - {x^2} + 12x - 36} \over {x\left[ {x + 6} \right]\left[ {x - 6} \right]}}.{{x\left[ {x + 6} \right]} \over {2\left[ {x - 3} \right]}}\]\[\displaystyle + {x \over {6 - x}}\]\[\displaystyle = {{12\left[ {x - 3} \right]} \over {x - 6}}.{1 \over {2\left[ {x - 3} \right]}} + {x \over {6 - x}}\]\[\displaystyle = {6 \over {x - 6}} - {x \over {x - 6}} = {{ - \left[ {x - 6} \right]} \over {x - 6}} = - 1 \]
Vậy với điều kiện\[x 0,\] \[x 3,\] \[x 6\] và \[x -6\] thì biểu thức đã cho không phụ thuộc biến \[x.\]