Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.
a] Chứng minh rằng MN//BD.
b] Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp[MNE].
c] Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp[MNE] với cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH//BD.
Lời giải chi tiết
a] Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Dễ thấy:
b] Ta có:
\[\eqalign{
& MM \subset \left[ {MNE} \right] \cr
& BD \subset \left[ {ABCD} \right] \cr
& MN//BD \cr
& \Rightarrow \left[ {MNE} \right] \cap \left[ {ABCD} \right] = Ex \cr} \]
thỏa mãn Ex // MN // BD.
Vậy từ E kẻ đường thẳng song song với BD lần lượt cắt CD, AB tại F, I. Nối IM lần lượt cắt SB và SA tại H và K; nối KN cắt SD tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác KLFEH.
c] Ta có:
\[\eqalign{
& NM \subset mp\left[ {MNE} \right] \cr
& DB \subset mp\left[ {SBD} \right] \cr
& MN//DB \cr} \]
Và \[\left[ {MNE} \right] \cap \left[ {SBD} \right] = LH\]
Suy ra:LH // DB.