Đề bài
Cho tứ diện ABCD, đáy là tam giác cân và \[DA \bot mp\left[ {ABC} \right],AB = AC = a,BC = {6 \over 5}a\]. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ AH vuông góc với MD [H thuộc đường thẳng MD].
a] Chứng minh rằng \[AH \bot mp\left[ {BC{\rm{D}}} \right]\].
b] Cho \[A{\rm{D}} = {4 \over 5}a\]. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và DM.
c] Gọi G1, G2lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABC và tam giác DBC. Chứng minh rằng \[{G_1}{G_2} \bot mp\left[ {ABC} \right]\].
Lời giải chi tiết
a] Vì M là trung điểm của BC nên \[AM \bot BC\], mặt khác \[DA \bot \left[ {ABC} \right]\] nên BC vuông góc với mp[DAM], từ đó \[BC \bot AH\].
Mà \[DM \bot AH\].
Vậy \[AH \bot mp\left[ {DBC} \right]\].
b] Kẻ MN song song với AC [N AB] thì góc giữa DM và AC bằng góc giữa DM và MN, đó là \[\widehat {DMN}\] hoặc \[{180^0} - \widehat {DMN}\].
Ta có:
\[\eqalign{ & MN = {1 \over 2}AC = {a \over 2},AN = {a \over 2}. \cr & D{N^2} = D{A^2} + A{N^2} = {{16} \over {25}}{a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{89} \over {100}}{a^2} \cr & A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {a^2} - {{9{{\rm{a}}^2}} \over {25}} = {{16{{\rm{a}}^2}} \over {25}} \cr & \Rightarrow AM = {{4{\rm{a}}} \over 5}. \cr} \]
Mặt khác \[A{\rm{D}} = {{4{\rm{a}}} \over 5}\] do đó \[DM = {{4{\rm{a}}\sqrt 2 } \over 5}\].
\[\eqalign{ & D{N^2} = D{M^2} + M{N^2} - 2{\rm{D}}M.MN\cos \widehat {DMN} \cr & {{89} \over {100}}{a^2} = {{2.16{a^2}} \over {25}} + {{{a^2}} \over 4} - 2.{{4a\sqrt 2 } \over 5}.{a \over 2}\cos \widehat {DMN} \cr & = {{153{a^2}} \over {100}} - {{4{a^2}\sqrt 2 } \over 5}\cos \widehat {DMN} \cr & \Rightarrow {{4{a^2}\sqrt 2 } \over 5}\cos \widehat {DMN} = {{64{a^2}} \over {100}} \cr & \Rightarrow \cos \widehat {DMN} = {{2\sqrt 2 } \over 5}. \cr} \].
Vậy góc giữa AC và DM là α mà \[\cos \alpha = {{2\sqrt 2 } \over 5}\] .
c] Dễ thấy G1G2// DA mà DA [ABC] nên \[{G_1}{G_2} \bot \left[ {ABC} \right]\].