Đề bài
Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn [O] và điểm C thay đổi trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.
Lời giải chi tiết
Trên đoạn thẳng AC lấy điểm M sao cho AM = AB = AD.
Khi đó, ta có \[{{AM} \over {AC}} = {{AB} \over {AC}} = {{\sqrt 2 } \over 2}.\]
Ngoài ra \[\left[ {AM,AB} \right] = {45^0}\] và \[\left[ {AM,A{\rm{D}}} \right] = - {45^0}\] .
Suy ra, phép vị tự V tâm A tỉ sơ \[k = {{\sqrt 2 } \over 2}\] biến điểm C thành điểm M và phép quay Q tâm A góc 450biến điểm M thành điểm B. Vậy nếu gọi F là phép hợp thành của V và Q thì F biến C thành B.
Vì quỹ tích của C là đường tròn [O], nên quỹ tích của B là ảnh của đường tròn đó qua phép đồng dạnh.
Đường tròn quỹ tích B có thể xác định như sau:
Gọi AR là đường kính của [O] và PQ là đường kính của [O] vuông góc với AR [ta kí hiệu các điểm P, Q sao cho [AR, QP = 450]. Khi đó dễ thấy rằng phép đồng dạng F biến AR thành AP.
Vậy quỹ tích B là đường tròn đường kính AP.
Tương tự ta được quỹ tích D là đường tròn đường kính AQ.