Đề bài
Trong mp[P] cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Hai điểm A, B nằm ngoài mp[P] và đường thẳng AB cắt mp[P] tại C sao cho \[C \notin a,\,C \notin b.\] Một mặt phẳng [Q] thay đổi luôn đi qua AB và cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại \[{A_1}\] và \[{B_1}\]
a] Chứng minh rằng đường thẳng \[{A_1}{B_1}\] luôn đi qua một điểm cố định.
b] Gọi I là giao điểm của \[A{A_1}\] và \[B{B_1}\],J là giao điểm của \[A{B_1}\] và \[B{A_1}.\] Chứng minh rằng mỗi điểm I và J chạy trên một đường thẳng cố định.
c] Chứng minh rằng đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết
a]Mặt phẳng [Q] và mặt phẳng [P] có ba điểm chung là \[{A_1},\,{B_1}\] và C nên ba điểm đó phải thẳng hàng; tức là đường thẳng \[{A_1}{B_1}\] luôn đi qua điểm cố định C.
b] Ta có:
\[\eqalign{
& \left. \matrix{
I \in A{A_1} \hfill \cr
A{A_1} \subset mp\left[ {A,\,a} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow I \in mp\left[ {A,\,a} \right] \cr
& \left. \matrix{
I \in B{B_1} \hfill \cr
B{B_1} \subset mp\left[ {B,\,b} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow I \in mp\left[ {B,\,b} \right]. \cr} \]
Từ đó, suy ra I thuộc giao tuyến \[{\Delta _1}\] của hai mặt phẳng [B, b] và [A, a]. Do hai mặt phẳng này cố định nên đường thẳng \[{\Delta _1}\] cố định.
Chứng minh tương tự, điểm J chạy trên đường thẳng cố định \[{\Delta _2}\] là giao tuyến của hai mặt phẳng cố định mp[A, b] và mp[B, a]. Chú ý \[{\Delta _1},\,{\Delta _2}\] đều đi qua O].
c] Hai đường thẳng IJ, AB đều thuộc mp[Q] và chúng không thể song song nên chúng cắt nhau tại một điểm K.
Ta có:
\[\left. \matrix{
K \in IJ \hfill \cr
IJ \subset mp\left[ {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right] \hfill \cr} \right\} \Rightarrow K \in mp\left[ {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right].\]
Mặt khác K thuộc AB. Do đó K chính là giao điểm của đường thẳng cố định AB với \[mp\left[ {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right]\] cố định nên K cố định.
Vậy đường thẳng IJ luôn đi qua điểm K cố định.