Bài tập cấp số nhân có đáp án năm 2024

Tuyển tập các tài liệu môn Toán hay nhất về chủ đề DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN trong chương trình môn Toán lớp 11, bao gồm các nội dung: Dãy Số; Cấp Số Cộng; Cấp Số Nhân.

Các tài liệu DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN được biên soạn phù hợp với chương trình sách giáo khoa Toán 11: Cánh Diều, Chân Trời Sáng Tạo, Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống; với đầy đủ lý thuyết, các dạng toán, ví dụ minh họa, bài tập trắc nghiệm và bài tập tự luận có đáp án và lời giải chi tiết, đầy đủ các mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao.

\(\begin{array}{l}{5^2} = x.25 \Leftrightarrow x = 1\\{25^2} = 5y \Leftrightarrow y = 125\end{array}\)

Vậy \(x = 1,y = 125\).

4. Tổng n số hạng đầu

\({S_n} = \dfrac{{u_1}({q^n} - 1)} {q - 1}\) \(= \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\), \((q ≠ 1)\).

Ví dụ:

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({S_{10}}\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\end{array}\)

5. Bài tập về cấp số nhân

Bài 1. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

1. $q = - 4\,.$

2. $q = 4.$

3. $q = - 12.$

4. $q = 10.$

Lời giải: Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \(q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4\).

Chọn đáp án A

Bài 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.

1. ${u_3} = 12.\,\,\,\,$

2. ${u_3} = - 12.$

3. ${u_3} = 16.$

4. ${u_3} = - 16.$

Lời giải: Ta có:

\({u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \) \(\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12\)

Chọn đáp án A.

Bài 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

1. ${S_5} = - 512$

2. ${u_5} = 256$

3. ${u_5} = - 512$

4. $q = 4$

Lời giải: Ta có:

${u_1} = - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$

Do đó \({u_5} = {u_1}.{q^4} = - 2.{\left( { - 4} \right)^4} = - 512\).

\({S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} = - 410\)

Chọn đáp án C.

Bài 4. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

1. số hạng thứ $103$

2. số hạng thứ $104$

3. số hạng thứ $105$

4. Đáp án khác

Lời giải: Ta có:

\({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{{103}}}} = - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)}{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{{n - 1}} = - \left( {\dfrac{1}{{{{10}}{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}} \) \(\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104\)

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_5} = 3,{u_6} = - 6$ . Lựa chọn đáp án đúng.

1. ${u_7} = 12.$

2. ${u_7} = - 12.$

3. ${u_7} = - 2$

4. \({u_7} = 18\)

Lời giải: Ta có:

\(u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{3} = 12\)

Chọn đáp án A.

Bài 6. Dãy số nào trong các dãy số sau không phải là cấp số nhân:

1. \({u_n} = {5^n}\)

2. \({u_n} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{n + 1}}\)

3. \({u_n} = 5n + 1\)

4. \({u_n} = {4^n}\)

Lời giải: Ta có:

\({u_n} = {5^n}\) nên ${u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5$ không đổi \(\forall n \ge 1\) .

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_n} = {5^n}\) là cấp số nhân.

Tương tự ta cũng có dãy số ở đáp án D là cấp số nhân.

Ta có:

\({u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{{n + 1}}\) nên ${u_{n + 1}} = 2{( - \sqrt 3 )}{n + 2}} = ( - \sqrt 3 ){u_n} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = ( - \sqrt 3 )$ không đổi \(\forall n \ge 1\) .

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có \({u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}\) là cấp số nhân.

Ta có:

\({u_n} = 5n + 1\) nên \({u_1} = 8;{u_2} = 13;{u_3} = 18 \Rightarrow \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) không là cấp số nhân.

Chọn đáp án C.

Bài 7. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q > 0\) . Biết \({u_2} = 4;{u_4} = 9\) .

1. \({u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)

2. \({u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}\)

3. \({u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)

4. \({u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}\)

Lời giải: Ta có \({u_2} = 4 = {u_1}.q\) và \({u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}\)

\(\Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2} \) \(\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}\)

Chọn đáp án B.

Bài 8. Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:

1. ${190^0}$

2. ${191^0}$

3. ${192^0}$

4. ${193^0}$

Lời giải: Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử \(A < B < C < D\).

Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

\(\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}\)