search

Bài tập đại số tuyến tính có lời giải pdf năm 2024

Ngày đăng: 07/06/2024
Trả lời: 0
Lượt xem: 36
  • 1. TˆA. P TO´AN CAO CˆA´P Tˆa.p 1 Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v`a H`ınh ho.c gia’i t´ıch NH`A XUˆA´T BA’ N DA. I HO. C QUˆO´C GIA H`A NˆO. I H`a Nˆo.i – 2006
  • 2. c L`o.i n´oi dˆa`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 Sˆo´ ph´u.c 6 1.1 D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . . . . . . . . 13 1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac . . . . . . . . 23 2 D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 44 2.1 D- a th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C . . . . . . . . . 45 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R . . . . . . . . . 46 2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3 Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c 66 3.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n . . . . . 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 D- i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.2 D- i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . 88
  • 3. LU. C 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´u.c . . . . . . . . . . . 89 3.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . 109 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . 119 4 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 132 4.1 Hˆe. n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´u.c kh´ac 0 . . . . 132 4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . 133 4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.2 Hˆe. t`uy ´y c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . 143 4.3 Hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t . . . . . . . . . 165 5 Khˆong gian Euclide Rn 177 5.1 D- i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe`u v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co. ba’n vˆe` vecto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.2 Co. so.’ . D- ˆo’i co. so.’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.3 Khˆong gian vecto. Euclid. Co. so.’ tru. .c chuˆa’n . . . . . . 201 5.4 Ph´ep biˆe´n dˆo’i tuyˆe´n t´ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt . . . . . . . . . . . . . . 213 5.4.3 C´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.4.4 Vecto. riˆeng v`a gi´a tri. riˆeng . . . . . . . . . . . . 216 6 Da.ng to`an phu.o.ng v`a ´u.ng du. ng d ˆe’ nhˆa.n da.ng du.`o.ng v`a m˘a.t bˆa.c hai 236 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237 6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 241
  • 4. C 3 6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru. .c giao . . . . . . . . . 244 6.2 D- u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t bˆa.c hai vˆe` da.ng ch´ınh t˘a´c . . . . . . . . . . . . . . . . 263
  • 5. tr`ınh B`ai tˆa. p to´an cao cˆa´p n`ay du.o. .c biˆen soa.n theo Chu.o.ng tr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu. . nhiˆen cu’a Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o. .c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆong qua v`a ban h`anh. Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o. sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu. . nhiˆen n˘a´m v˜u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o. .c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao cˆa´p. Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo. cˆa´u tr´uc cu’a gi´ao tr`ınh. Trong mˆo˜i mu.c, dˆa`u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜u.ng co. so.’ l´y thuyˆe´t v`a liˆe.t kˆe nh˜u.ng cˆong th´u.c cˆa`n thiˆe´t. Tiˆe´p d´o, trong phˆa`n C´ac v´ı du. ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜u b˘a`ng c´ach vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´u.c l´y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa`n B`ai tˆa. p. O .’ dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du.o. .c gˆo.p th`anh t`u.ng nh´om theo t`u.ng chu’ dˆe` v`a du.o. .c s˘a´p xˆe´p theo th´u. tu. . t˘ang dˆa`n vˆe` dˆo. kh´o v`a mˆo˜i nh´om dˆe`u c´o nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` phu.o.ng ph´ap gia’i. Ch´ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.c l`am quen v´o.i l`o.i gia’i chi tiˆe´t trong phˆa`n C´ac v´ı du. s˜e gi´up ngu.`o.i ho.c n˘a´m du.o. .c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co. ba’n. Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa. p n`ay c´o thˆe’ su.’ du.ng du.´o.i su. . hu.´o.ng dˆa˜n cu’a gi´ao viˆen ho˘a.c tu. . m`ınh nghiˆen c´u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆe`u c´o d´ap sˆo´, mˆo.t sˆo´ c´o chı’ dˆa˜n v`a tru.´o.c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆa`n C´ac v´ı du. tr`ınh b`ay nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an. T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆa`y gi´ao: TS. Lˆe D`ınh Ph`ung v`a PGS. TS. Nguyˆe˜n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜y ba’n tha’o v`a d´ong
  • 6. thuyˆe´t h`am biˆe´n ph´u.c 5 g´op nhiˆe`u ´y kiˆe´n qu´y b´au vˆe` cˆa´u tr´uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac gia’ vˆe` nh˜u.ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh. M´o.i xuˆa´t ba’n lˆa`n dˆa`u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot. Ch´ung tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o. .c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜u.ng thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o. .c ho`an thiˆe.n ho.n. H`a Nˆo. i, M`ua thu 2004 T´ac gia’
  • 7. D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c . . . . . . . . . . . 8 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen . 13 1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac . 23 1.1 D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c Mˆo˜i c˘a.p sˆo´ thu. .c c´o th´u. tu. . (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o. .c go.i l`a mˆo.t sˆo´ ph´u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho. .p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe. b˘a`ng nhau, ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep nhˆan du.o. .c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay: (I) Quan hˆe. b˘a`ng nhau (a1, b1) = (a2, b2) ⇐⇒    a1 = a2, b1 = b2. (II) Ph´ep cˆo.ng
  • 8. ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 7 (a1, b1) + (a2, b2) def = (a1 + a2, b1 + b2).1 (III) Ph´ep nhˆan (a1, b1)(a2, b2) def = (a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1). Tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c du.o. .c k´y hiˆe.u l`a C. Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan (III) trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho. .p, liˆen hˆe. v´o.i nhau bo.’ i luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆa`n tu.’ = (0, 0) dˆe`u c´o phˆa`n tu.’ nghi.ch da’o. Tˆa.p ho. .p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c) v´o.i phˆa`n tu.’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆa`n tu.’ do.n vi. l`a c˘a.p (1; 0). ´Ap du.ng quy t˘a´c (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0). Nˆe´u k´y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı i2 = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta c´o (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). T`u. d´o vˆe` m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.t v´o.i sˆo´ thu. .c R: v`ı ch´ung du.o. .c cˆo.ng v`a nhˆan nhu. nh˜u.ng sˆo´ thu. .c. Do vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆo`ng nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu. .c a: (a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R. D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1. Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´u.c z = (a, b): 1+ Sˆo´ thu. .c a du.o. .c go.i l`a phˆa`n thu. .c a = Re z, sˆo´ thu. .c b go.i l`a phˆa`n a’o v`a k´y hiˆe.u l`a b = Imz. 2+ Sˆo´ ph´u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i sˆo´ ph´u.c z 1 def. l`a c´ach viˆe´t t˘a´t cu’a t`u. tiˆe´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa)
  • 9. Sˆo´ ph´u.c 1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c Mo.i sˆo´ ph´u.c z = (a; b) ∈ C dˆe`u c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng z = a + ib. (1.1) Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib Biˆe’u th´u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c z = (a, b). T`u. (1.1) v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p ta c´o z = a − ib. Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c du.o. .c thu. .c hiˆe.n theo c´ac quy t˘a´c sau. Gia’ su.’ z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Khi d´o (I) Ph´ep cˆo.ng: z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2). (II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1). (III) Ph´ep chia: z2 z1 = a1a2 + b1b2 a2 1 + b2 1 + i a1b2 − a2b1 a2 1 + b2 1 · C´AC V´I DU. V´ı du. 1. 1+ T´ınh in . T`u. d´o ch´u.ng minh r˘a`ng a) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0; b) i · i2 · · · i99 · i100 = −1. 2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u: a) (1 + i)n = (1 − i)n ; b) 1 + i √ 2 n + 1 − i √ 2 n = 0. Gia’i. 1+ Ta c´o i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i v`a gi´a tri. l˜uy th`u.a b˘a´t dˆa`u l˘a.p la.i. Ta kh´ai qu´at h´oa. Gia’ su.’ n ∈ Z v`a n = 4k + r, r ∈ Z, 0 r 3. Khi d´o in = i4k+r = i4k · ir = (i4 )k ir = ir
  • 10. sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 9 (v`ı i4 = i). T`u. d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o in =    1 nˆe´u n = 4k, i nˆe´u n = 4k + 1, −1 nˆe´u n = 4k + 2, −i nˆe´u n = 4k + 3. (1.2) T`u. (1.2) dˆe˜ d`ang suy ra a) v`a b). 2+ a) T`u. hˆe. th´u.c (1 + i)n = (1 − i)n suy ra 1 + i 1 − i n = 1. Nhu.ng 1 + i 1 − i = i nˆen 1 + i 1 − i n = in = 1 ⇒ n = 4k, k ∈ Z. b) T`u. d˘a’ng th´u.c 1 + i √ 2 n + 1 − i √ 2 n = 0 suy r˘a`ng 1 + i 1 − i n = −1 v`a do d´o in = −1 ⇒ n = 4k + 2, k ∈ Z. V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u n l`a bˆo.i cu’a 3 th`ı −1 + i √ 3 2 n + −1 − i √ 3 2 n = 2 v`a nˆe´u n khˆong chia hˆe´t cho 3 th`ı −1 + i √ 3 2 n + −1 − i √ 3 2 n = −1. Gia’i. 1+ Nˆe´u n = 3m th`ı S = −1 + i √ 3 2 3 m + −1 − i √ 3 2 3 m = −1 + 3i √ 3 + 9 − 3i √ 3 8 m + −1 − 3i √ 3 + 9 + 3i √ 3 8 m = 1m + 1m = 2.
  • 11. Sˆo´ ph´u.c 2+ Nˆe´u n = 3m + 1 th`ı S = −1 + i √ 3 2 3 m −1 + i √ 3 2 + −1 − i √ 3 2 3 m 1 − i √ 3 2 = −1 + i √ 3 2 + −1 − i √ 3 2 = −1. Tu.o.ng tu. . nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜ung c´o S = −1. V´ı du. 3. T´ınh biˆe’u th´u.c σ = 1 + 1 + i 2 1 + 1 + i 2 2 1 + 1 + i 2 22 · · · 1 + 1 + i 2 2n . Gia’i. Nhˆan v`a chia biˆe’u th´u.c d˜a cho v´o.i 1 − 1 + i 2 ta c´o σ = 1 − 1 + i 2 2n 2 1 − 1 + i 2 = 1 − 1 + i 2 2n+1 1 − 1 + i 2 · Ta cˆa`n t´ınh 1 + i 2 2n+1 = 1 + i 2 2 2n = i 2 2n = i2n 22n = 1 22n · Do d´o σ = 1 − 1 22n 1 − 1 + i 2 = 2 1 − 1 22n 1 − i × 1 + i 1 + i = 1 − 1 22n (1 + i) V´ı du. 4. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c √ 4 − 3i du.´o.i da.ng da.i sˆo´. Gia’i. Theo di.nh ngh˜ıa ta cˆa`n t`ım sˆo´ ph´u.c w sao cho w2 = 4 − 3i. Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı 4 − 3i = (a + bi)2 = a2 − b2 + 2abi.
  • 12. sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 11 T`u. d´o a2 − b2 = 4, (1.3) 2ab = −3. (1.4) T`u. (1.4) ta c´o b = − 3 2a . Thˆe´ v`ao (1.3) ta thu du.o. .c 4u2 − 16u − 9 = 0, u = a2 ⇐⇒ u1 = 8 + √ 100 4 = 8 + 10 4 = 18 4 = 9 2 , u2 = 8 − √ 100 4 = 8 − 10 4 = − 1 2 · V`ı a ∈ R nˆen u 0 ⇒ u = 9 2 v`a do vˆa.y a = ± 3 √ 2 ⇒ b = 1 √ 2 · T`u. d´o ta thu du.o. .c w1,2 = ± 3 √ 2 − 1 √ 2 i V´ı du. 5. Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c z = √ 5 + 12i − √ 5 − 12i √ 5 + 12i + √ 5 − 12i v´o.i diˆe`u kiˆe.n l`a c´ac phˆa`n thu. .c cu’a √ 5 + 12i v`a √ 5 − 12i dˆe`u ˆam. Gia’i. ´Ap du.ng phu.o.ng ph´ap gia’i trong v´ı du. 4 ta c´o √ 5 + 12i = x + iy ⇒ 5 + 12i = x2 − y2 − 2xyi ⇐⇒    x2 − y2 = 5, 2xy = 12.
  • 13. Sˆo´ ph´u.c Hˆe. n`ay c´o hai nghiˆe.m l`a (3; 2) v`a (−3; −2). Theo diˆe`u kiˆe.n, phˆa`n thu. .c cu’a √ 5 + 12i ˆam nˆen ta c´o √ 5 + 12i = −3 − 2i. Tu.o.ng tu. . ta t`ım du.o. .c √ 5 − 12i = −3 + 2i. Nhu. vˆa.y z = −3 − 2i − (−3 + 2i) −3 − 2i + (−3 + 2i) = 2 3 i V´ı du. 6. Gia’ su.’ z = a + ib, z = ±1. Ch´u.ng minh r˘a`ng w = z − 1 z + 1 l`a sˆo´ thuˆa`n a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 = 1. Gia’i. Ta c´o w = (a − 1) + ib (a + 1) + ib = a2 + b2 − 1 (a + 1)2 + b2 + i 2b (a + 1)2 + b2 · T`u. d´o suy r˘a`ng w thuˆa`n a’o khi v`a chı’ khi a2 + b2 − 1 (a + 1)2 + b2 = 0 ⇐⇒ a2 + b2 = 1. B`AI TˆA. P T´ınh 1. (1 + i)8 − 1 (1 − i)8 + 1 · (DS. 15 17 ) 2. (1 + 2i)3 + (1 − 2i)3 (2 − i)2 − (2 + i)2 · (DS. − 11 4 i) 3. (3 − 4i)(2 − i) 2 + i − (3 + 4i)(2 + i) 2 − i · (DS. − 14 5 ) 4. 1 + 1 − i √ 2 1 + 1 − i √ 2 2 1 + 1 − i √ 2 22 · · · 1 + 1 − i √ 2 2n . (DS. 0) Chı’ dˆa˜n. ´Ap du.ng c´ach gia’i v´ı du. 3. 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng a) z1 + z2 = z1 + z2; b) z1z2 = z1 · z2; c) z1 z2 = z1 z2 ;
  • 14. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 13 d) zn = (z) n ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z. 6. V´o.i gi´a tri. thu. .c n`ao cu’a x v`a y th`ı c´ac c˘a.p sˆo´ sau dˆay l`a c´ac c˘a.p sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p: 1) y2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v`a −y2 + 2y + 11 − 4i; 2) x + y2 + 1 + 4i v`a ixy2 + iy2 − 3 ? (DS. 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x1,2 = −5, y1,2 = ±5) 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng z1 v`a z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p khi v`a chı’ khi z1 + z2 v`a z1z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ thu. .c. 8. T´ınh: 1) √ −5 − 12i. (DS. ±(2 − 3i)) 2) √ 24 + 10i. (DS. ±(5 + i)) 3) √ 24 − 10i. (DS. ±(5 − i)) 4) 1 + i √ 3 + 1 − i √ 3. (DS. ± √ 6, ±i √ 2) 9. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1) 1 − C2 8 + C4 8 − C6 8 + C8 8 = 16; 2) 1 − C2 9 + C4 9 − C6 9 + C8 9 = 16; 3) C1 9 − C3 9 + C5 9 − C7 9 + C9 9 = 16. Chı’ dˆa˜n. ´Ap du.ng cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton dˆo´i v´o.i (1 + i)8 v`a (1 + i)9 . 1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgu- men Mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ d˘a.t tu.o.ng ´u.ng v´o.i diˆe’m M(a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo. v`a ngu.o. .c la.i mˆo˜i diˆe’m M(a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng dˆe`u tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib. Ph´ep tu.o.ng ´u.ng du.o. .c x´ac lˆa.p l`a do.n tri. mˆo.t - mˆo.t. Ph´ep tu.o.ng ´u.ng d´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo´ ph´u.c nhu. l`a c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo.. M˘a.t ph˘a’ng d´o du.o. .c go.i l`a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c. Tru.c ho`anh cu’a n´o du.o. .c go.i l`a Tru.c thu. .c, tru.c tung
  • 15. Sˆo´ ph´u.c du.o. .c go.i l`a Tru. c a’o. Thˆong thu.`o.ng sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ xem nhu. vecto. −→ OM. Mˆo˜i vecto. cu’a m˘a.t ph˘a’ng v´o.i diˆe’m dˆa`u O(0, 0) v`a diˆe’m cuˆo´i ta.i diˆe’m M(a; b) dˆe`u tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib v`a ngu.o. .c la.i. Su. . tu.o.ng ´u.ng du.o. .c x´ac lˆa.p gi˜u.a tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c C v´o.i tˆa.p ho. .p c´ac diˆe’m hay c´ac vecto. m˘a.t ph˘a’ng cho ph´ep go.i c´ac sˆo´ ph´u.c l`a diˆe’m hay vecto.. V´o.i ph´ep biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c sˆo´ ph´u.c, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a tr`u. c´ac sˆo´ ph´u.c du.o. .c thu. .c hiˆe.n theo quy t˘a´c cˆo.ng v`a tr`u. c´ac vecto.. Gia’ su.’ z ∈ C. Khi d´o dˆo. d`ai cu’a vecto. tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z du.o. .c go.i l`a mˆodun cu’a n´o. Nˆe´u z = a + ib th`ı r = |z| = √ a2 + b2 = √ z z. G´oc gi˜u.a hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu. .c v`a vecto. z (du.o. .c xem l`a g´oc du.o.ng nˆe´u n´o c´o di.nh hu.´o.ng ngu.o. .c chiˆe`u kim dˆo`ng hˆo`) du.o. .c go.i l`a acgumen cu’a sˆo´ z = 0. Dˆo´i v´o.i sˆo´ z = 0 acgumen khˆong x´ac di.nh. Kh´ac v´o.i mˆodun, acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c x´ac di.nh khˆong do.n tri., n´o x´ac di.nh v´o.i su. . sai kh´ac mˆo.t sˆo´ ha.ng bˆo.i nguyˆen cu’a 2π v`a Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z, trong d´o arg z l`a gi´a tri. ch´ınh cu’a acgumen du.o. .c x´ac di.nh bo.’ i diˆe`u kiˆe.n −π < arg z π ho˘a.c 0 arg z < 2π. Phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o cu’a sˆo´ ph´u.c z = a + ib du.o. .c biˆe’u diˆe˜n qua mˆodun v`a acgument cu’a n´o nhu. sau    a = r cos ϕ, y = r sin ϕ.
  • 16. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 15 Nhu. vˆa.y, acgumen ϕ cu’a sˆo´ ph´u.c c´o thˆe’ t`ım t`u. hˆe. phu.o.ng tr`ınh    cos ϕ = a √ a2 + b2 , sin ϕ = b √ a2 + b2 · C´AC V´I DU. V´ı du. 1. T`ım mˆodun cu’a sˆo´ z = x2 − y2 + 2xyi xy √ 2 + i x4 + y4 · Gia’i. Ta c´o |z| = (x2 − y2)2 + (2xy)2 (xy √ 2)2 + ( x4 + y4)2 = x2 + y2 x2 + y2 = 1. V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng ∀ z1, z2 ∈ C ta dˆe`u c´o: (i) |z1 + z2| |z1| + |z2|; (ii) |z1 − z2| |z1| + |z2|; (iii) |z1 + z2| |z1| − |z2|; (iv) z1 − z2| |z1| − |z2. Gia’i. (i) Ta c´o |z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = |z1|2 + |z2|2 + 2Re(z1z2). V`ı −|z1z2| Re(z1z2) |z1z2| nˆen |z1 + z2|2 |z1|2 + |z2|2 + 2|z1||z2| = (|z1| + |z2|)2 ⇒ |z1 + z2| |z1| + |z2|. (ii) V`ı |z2| = | − z2| nˆen |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≤ |z1| + | − z2| = |z1| + |z2|. (iii) ´Ap du.ng (ii) cho z1 = (z1 + z2) − z2 v`a thu du.o. .c |z1| |z1 + z2| + |z2| → |z1 + z2| |z1| − |z2|.
  • 17. Sˆo´ ph´u.c (iv) |z1 − z2| = |z1 + (−z2)| ≥ |z1| − | − z2| = |z1| − |z2|. Nhˆa. n x´et. C´ac bˆa´t d˘a’ng th´u.c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng (iii)∗ . |z1 + z2| |z1| − |z2| ; (iv)∗ . |z1 − z2| |z1| − |z2| . Thˆa.t vˆa.y ta c´o |z1 + z2| |z1| − |z2| v`a |z1 + z2| |z2| − |z1|. C´ac vˆe´ pha’i kh´ac nhau vˆe` dˆa´u do d´o nˆe´u lˆa´y vˆe´ pha’i du.o.ng th`ı thu du.o. .c (iii)∗ . Bˆa´t d˘a’ng th´u.c (iv)∗ thu du.o. .c t`u. (iii)∗ b˘a`ng c´ach thay z2 bo.’ i −z2. V´ı du. 3. Ch´u.ng minh dˆo`ng nhˆa´t th´u.c |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2 ). Gia’i th´ıch ´y ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a hˆe. th´u.c d˜a ch´u.ng minh. Gia’i. Gia’ su.’ z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2. Khi d´o z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2), z1 − z2 = x1 − x2 + i(y1 − y2), |z1 + z2|2 = (x1 + x2)2 + (y1 + y2)2 , |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 . T`u. d´o thu du.o. .c |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(x2 1 + y1)2 + 2(x2 2 + y2 2) = 2(|z1|2 + |z2|2 ). T`u. hˆe. th´u.c d˜a ch´u.ng minh suy r˘a`ng trong mˆo˜i h`ınh b`ınh h`anh tˆo’ng c´ac b`ınh phu.o.ng dˆo. d`ai cu’a c´ac du.`o.ng ch´eo b˘a`ng tˆo’ng c´ac b`ınh phu.o.ng dˆo. d`ai cu’a c´ac ca.nh cu’a n´o. V´ı du. 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| th`ı arg z3 − z2 z3 − z1 = 1 2 arg z2 z1 · Gia’i. Theo gia’ thiˆe´t, c´ac diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on n`ao d´o v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo.. Ta x´et c´ac vecto. z3 − z2; z3 − z1, z1 v`a z2 (h˜ay v˜e h`ınh).
  • 18. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 17 B˘a`ng nh˜u.ng nguyˆen do h`ınh ho.c, dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng arg z3 − z2 z3 − z1 = arg(z3 − z2) − arg(z3 − z1) v`a g´oc n`ay nh`ın cung tr`on nˆo´i diˆe’m z1 v`a z2 v`a g´oc o.’ tˆam arg z2 z1 = argz2 − argz1 c˜ung ch˘a´n ch´ınh cung tr`on d´o. Theo di.nh l´y quen thuˆo.c cu’a h`ınh ho.c so. cˆa´p ta c´o arg z3 − z2 z3 − z1 = 1 2 arg z2 z1 · V´ı du. 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| = 1 v`a z1+z2+z3 = 0 th`ı c´ac diˆe’m z1, z2 v`a z3 l`a c´ac dı’nh cu’a tam gi´ac dˆe`u nˆo.i tiˆe´p trong du.`o.ng tr`on do.n vi.. Gia’i. Theo gia’ thiˆe´t, ba diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on do.n vi.. Ta t`ım dˆo. d`ai cu’a c´ac ca.nh tam gi´ac. 1+ T`ım dˆo. d`ai |z1 − z2|. Ta c´o |z1 − z2|2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 = x2 1 + y2 1 + x2 2 + y2 2 − (2x1x2 + 2y1y2) = 2(x2 1 + y2 1) + 2(x2 2 + y2 2) − [(x1 + x2)2 + (y1 + y2)2 ] = 2|z1|2 + 2|z2|2 − 2|z1 + z2|2 . Nhu.ng z1 + z2 = −z3 v`a |z1 + z2| = |z3|. Do d´o |z1 − z2|2 = 2|z1|2 + 2|z2|2 − |z3|2 = 2 · 1 + 2 · 1 − 1 = 3 v`a t`u. d´o |z1 − z2| = √ 3 . 2+ Tu.o.ng tu. . ta c´o |z2 − z3| = √ 3, |z3 − z1| = √ 3. T`u. d´o suy ra tam gi´ac v´o.i dı’nh z1, z2, z3 l`a tam gi´ac dˆe`u.
  • 19. Sˆo´ ph´u.c V´ı du. 6. V´o.i diˆe`u kiˆe.n n`ao th`ı ba diˆe’m kh´ac nhau t`u.ng dˆoi mˆo.t z1, z2, z3 n˘a`m trˆen mˆo.t du.`o.ng th˘a’ng. Gia’i. 1+ Nˆe´u c´ac diˆe’m z1, z2, z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng cho tru.´o.c th`ı vecto. di t`u. z2 dˆe´n z1 c´o hu.´o.ng nhu. cu’a vecto. di t`u. diˆe’m z3 dˆe´n z1 ho˘a.c c´o hu.´o.ng ngu.o. .c la.i. Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu’a c´ac vecto. n`ay dˆo´i v´o.i tru.c thu. .c ho˘a.c nhu. nhau ho˘a.c sai kh´ac g´oc π. Nhu.ng khi d´o ta c´o arg(z1 − z2) = arg(z1 − z3) + kπ, k = 0, 1. T`u. d´o suy ra arg z1 − z2 z1 − z3 = arg(z1 − z2) − arg(z1 − z3) = kπ, k = 0, 1. Nhu. vˆa.y sˆo´ ph´u.c z1 − z2 z1 − z3 c´o acgumen b˘a`ng 0 ho˘a.c b˘a`ng π, t´u.c l`a sˆo´ z1 − z2 z1 − z3 l`a sˆo´ thu. .c. Diˆe`u kiˆe.n thu du.o. .c l`a diˆe`u kiˆe.n cˆa`n. 2+ Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d´o c˜ung l`a diˆe`u kiˆe.n du’. Gia’ su.’ z1 − z2 z1 − z3 = α, α ∈ R. Khi d´o Im z1 − z2 z1 − z3 = 0. Hˆe. th´u.c n`ay tu.o.ng du.o.ng v´o.i hˆe. th´u.c y1 − y3 y1 − y2 = x1 − x3 x1 − x2 · (1.5) Phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng th˘a’ng qua diˆe’m (x1, y1) v`a (x2, y2) c´o da.ng y − y1 y2 − y1 = x − x1 x2 − x1 · (1.6) T`u. (1.5) v`a (1.6) suy ra diˆe’m (x3, y3) n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng d´o. V´ı du. 7. X´ac di.nh tˆa.p ho. .p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c tho’a m˜an c´ac diˆe`u kiˆe.n:
  • 20. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 19 1) |z − 2| + |z + 2| = 5; 2) |z − 2| − |z + 2| > 3; 3) Re z c; 4) Im z < 0. Gia’i. 1) D˘a’ng th´u.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´ac di.nh qu˜y t´ıch nh˜u.ng diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng m`a tˆo’ng khoa’ng c´ach t`u. d´o dˆe´n hai diˆe’m cho tru.´o.c F1 = −2 v`a F2 = +2 l`a h˘a`ng sˆo´ b˘a`ng 5. Theo di.nh ngh˜ıa trong h`ınh ho.c gia’i t´ıch d´o l`a du.`o.ng ellip v´o.i b´an tru.c l´o.n b˘a`ng 5 2 v`a tiˆeu diˆe’m ±2. 2) Qu˜y t´ıch c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng C tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n |z − 2| − |z + 2| = 3 l`a du.`o.ng hypecbˆon. D˘a’ng th´u.c |z − 2| − |z + 2| = 3 x´ac di.nh nh´anh bˆen tr´ai cu’a du.`o.ng hypecbˆon v`a bˆa´t d˘a’ng th´u.c |z − 2| − |z + 2| > 3 x´ac di.nh phˆa`n trong cu’a nh´anh d´o. 3) Rez c ⇒ x c. D´o l`a nu.’ a m˘a.t ph˘a’ng bˆen pha’i du.`o.ng th˘a’ng x = c (kˆe’ ca’ du.`o.ng th˘a’ng x = c). 4) V`ı Imz = y ⇒ Imz < c ⇒ y < c. D´o l`a nu.’ a m˘a.t ph˘a’ng du.´o.i du.`o.ng th˘a’ng y = c (khˆong kˆe’ du.`o.ng th˘a’ng d´o). V´ı du. 8. X´ac di.nh tˆa.p ho. .p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c C du.o. .c cho bo.’ i diˆe`u kiˆe.n: 1) |z| = Rez + 1; 2) |z − 1| 2|z − i|; 3) |z − 2 + i|u2 − 2|z − 2 + i|u + 1 > 0 ∀ u ∈ R. 4) log3(2 + |z2 + i|) + log27 1 (2 + |z2 − i|)3 = 0. Gia’i. 1) Gia’ su.’ z = x + iy. Khi d´o t`u. diˆe`u kiˆe.n |z| = Rez + 1 ⇒ x2 + y2 = x + 1 ⇒ y2 = 2x + 1.
  • 21. Sˆo´ ph´u.c D´o l`a phu.o.ng tr`ınh parabˆon v´o.i dı’nh ta.i diˆe’m − 1 2 ; 0 v´o.i tru.c dˆo´i x´u.ng l`a tia γ = (x, y) ∈ R2 : x − 1 2 , y = 0 . 2) Gia’ su.’ z = x + iy. Khi d´o t`u. diˆe`u kiˆe.n d˜a cho suy ra: |x − 1 + iy| 2|x + i(y − 1)| ⇒ (x − 1)2 + y2 ≥ 2 x2 + (y − 1)2 ⇒ x + 1 3 2 + y − 4 3 2 8 9 · T`u. d´o suy ra r˘a`ng diˆe`u kiˆe.n d˜a cho x´ac di.nh h`ınh tr`on tˆam z0 = − 1 3 +i 4 3 v`a b´an k´ınh 2 √ 2 3 . 3) V`ı tam th´u.c bˆa.c hai (dˆo´i v´o.i u) o.’ vˆe´ tr´ai cu’a diˆe`u kiˆe.n d˜a cho du.o.ng ∀ u ∈ R nˆen biˆe.t sˆo´ cu’a n´o ˆam, t´u.c l`a |z − 2 + i|2 − |z − 2 + i| < 0 ⇒|z − 2 + i| < 1. D´o l`a h`ınh tr`on v´o.i tˆam ta.i z0 = 2 − i v`a b´an k´ınh b˘a`ng 1. 4) T`u. diˆe`u kiˆe.n d˜a cho ta thu du.o. .c log3 2 + |z2 + i| 2 + |z2 − i| = 0 ⇒ 2 + |z2 + i| 2 + |z2 − i| = 1 v`a |z2 + i| = |z2 − i|. T`u. d´o suy r˘a`ng z2 l`a sˆo´ thu. .c bˆa´t k`y. Nhu.ng khi d´o z l`a sˆo´ thu. .c bˆa´t k`y ho˘a.c sˆo´ thuˆa`n a’o bˆa´t k`y. Nhu. vˆa.y chı’ c´o c´ac diˆe’m n˘a`m trˆen c´ac tru.c to.a dˆo. l`a tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n d˜a cho. B`AI TˆA. P
  • 22. h`ınh ho.c. Mˆodun v`a acgumen 21 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1) |z1 · z2| = |z1| · |z2|; 2) |z1 ± z2| |z1| + |z2|; 3) |z1 ± z2| |z1| − |z2| . 2. Xuˆa´t ph´at t`u. c´ac biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c, ch´u.ng minh: 1) z |z| − 1 |argz|; 2) |z − 1| |z| − 1 + |z||argz|. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u gi´a tri. ch´ınh argz = arg(a + ib) tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n −π < argz π th`ı n´o du.o. .c t´ınh theo cˆong th´u.c arg(a + ib) =    arctg b a nˆe´u a > 0, arctg b a + π nˆe´u a < 0, b 0, arctg b a − π nˆe´u a < 0, b < 0. 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u gi´a tri. ch´ınh arg(a + ib) tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n 0 arg(a + ib) < 2π th`ı arg(a + ib) =    arctg b a nˆe´u a > 0, b > 0, arctg b a + 2π nˆe´u a > 0, b < 0, arctg b a + π nˆe´u a < 0. Chı’ dˆa˜n. Lu.u ´y r˘a`ng gi´a tri. ch´ınh cu’a arctg b a ∈ − π 2 , π 2 . 5. Ch´u.ng minh r˘a`ng |a + b|2 + |a − b|2 = 4|a|2 nˆe´u |a| = |b|. 6. Ch´u.ng minh dˆo`ng nhˆa´t th´u.c |1 − ab|2 − |a − b|2 = (1 + |ab|)2 − (|a| + |b|)2 , a ∈ C, b ∈ C. Chı’ dˆa˜n. Su.’ du.ng hˆe. th´u.c |z|2 = zz.
  • 23. Sˆo´ ph´u.c 7. Ch´u.ng minh dˆo`ng nhˆa´t th´u.c 1) |a + b|2 = (|a| + |b|)2 − 2 |ab| − Re(ab) . 2) |ab + 1|2 + |a − b|2 = (|a|2 + 1)(|b|2 + 1). 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i sˆo´ ph´u.c z = −1 v`a |z| = 1 dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng z = 1 + ti 1 − ti , t ∈ R. Chı’ dˆa˜n. Biˆe’u diˆe˜n t qua z v`a ch´u.ng minh t = t. 9. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u Rea 0 th`ı |1 + a| 1 + |a| √ 2 · Chı’ dˆa˜n. C´o thˆe’ ch´u.ng minh b˘a`ng pha’n ch´u.ng. 10. Trong c´ac sˆo´ ph´u.c tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n |z − 25i| 15 h˜ay t`ım sˆo´ c´o acgument du.o.ng nho’ nhˆa´t. 11. T`ım acgumen cu’a c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay 1) cos π 6 − i sin π 6 · (DS. − π 6 ) 2) − cos π 3 + i sin π 3 · (DS. 2π 3 ) 3) cos ϕ − i sin ϕ. (DS. −ϕ) 4) − cos ϕ − i sin ϕ. (DS. π + ϕ) 5) sin ϕ + i cos ϕ. (DS. π 2 − ϕ) 6) sin ϕ − i cos ϕ. (DS. ϕ − π 2 ) 7) − sin ϕ − i cos ϕ. (DS. − π 2 − ϕ )
  • 24. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 23 1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac Mo.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib = 0 dˆe`u biˆe’u diˆe˜n du.o. .c du.´o.i da.ng z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.7) trong d´o r = |z| = √ a2 + b2, ϕ l`a mˆo.t trong c´ac acgumen cu’a n´o. Ph´ep biˆe’u diˆe˜n d´o du.o. .c go.i l`a da. ng lu.o. .ng gi´ac cu’a sˆo´ ph´u.c z. Dˆe’ chuyˆe’n t`u. da.ng da.i sˆo´ sang da.ng lu.o. .ng gi´ac ta chı’ cˆa`n t`ım mˆodun v`a mˆo.t trong c´ac acgument cu’a n´o. V`ı mˆodun v`a acgumen cu’a tˆo’ng (hiˆe.u) hai sˆo´ ph´u.c kh´o c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n qua mˆodun v`a acgumen cu’a c´ac sˆo´ ha.ng nˆen ph´ep cˆo.ng v`a ph´ep tr`u. du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac l`a khˆong kha’ thi. Ngu.o. .c la.i, ph´ep nhˆan, ph´ep chia, ph´ep nˆang lˆen l˜uy th`u.a v`a khai c˘an du.o. .c thu. .c hiˆe.n rˆa´t tiˆe.n lo. .i du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac. Gia’ su.’ z1 = r1(cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2 + i sin ϕ2), z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d´o 1+ z1z2 = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)] 2+ z1 z2 = r1 r2 [cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)], r2 = 0. 3+ zn = rn [cos nϕ + i sin nϕ], n ∈ Z. 4+ wk = n √ r cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ n , k = 0, n − 1. T`u. 3+ suy ra [cos ϕ + i sin ϕ]n = cos nϕ + i sin nϕ. (1.8) Cˆong th´u.c (1.8) du.o. .c go.i l`a cˆong th´u.c Moivre. Ph´ep to´an nˆang sˆo´ e lˆen lu˜y th`u.a ph´u.c z = x+iy du.o. .c di.nh ngh˜ıa bo.’ i cˆong th´u.c ez = ex+iy def = ex (cos y + i sin y). (1.9) Ch˘a’ng ha.n
  • 25. Sˆo´ ph´u.c e1+i = e(cos 1 + i sin 1), eπi/2 = cos π 2 + i sin π 2 = i, eπi = cos π + i sin π = −1. T`u. (1.9) khi z = iϕ ta thu du.o. .c cˆong th´u.c eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.10) go.i l`a cˆong th´u.c Euler. Mo.i sˆo´ ph´u.c z = 0 dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng z = reiϕ , (1.11) trong d´o r = |z|, ϕ l`a mˆo.t trong c´ac acgumen cu’a n´o. Ph´ep biˆe’u diˆe˜n (1.11) du.o. .c go.i l`a da. ng m˜u cu’a sˆo´ ph´u.c. C˜ung nhu. dˆo´i v´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac ta c´o: 1/ nˆe´u z1 = r1eiϕ1 , z2 = r2eiϕ2 th`ı z1z2 = r1r2ei(ϕ1+ϕ2) , (1.12) z1/z2 = r1 r2 ei(ϕ1−ϕ2) , (1.13) 2/ nˆe´u z = reiϕ th`ı zn = rn einϕ , (1.14) n √ z = n √ rei ϕ+2kπ n , k = 0, n − 1 (1.15) C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 1) −1 + i √ 3; 2) 2 + √ 3 + i. Gia’i. 1) T`ım mˆodun v`a acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c d˜a cho: r = (−1)2 + ( √ 3)2 = 2; tg ϕ = − √ 3 .
  • 26. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 25 T`u. d´o ho˘a.c ϕ = −π/3, ho˘a.c ϕ = − π 3 + π = 2π 3 . V`ı sˆo´ ph´u.c d˜a cho thuˆo.c g´oc phˆa`n tu. II nˆen ta cho.n ϕ = 2π 3 . T`u. d´o −1 + i √ 3 = 2 cos 2π 3 i sin 2π 3 . 2) T`ım modun v`a acgumen: |2 + √ 3 + i| = (2 + √ 3)2 + 1 = 8 + 4 √ 3 = 2 2 + √ 3. Nˆe´u ϕ = arg(2 + √ 3 + i) th`ı cos ϕ = 2 + √ 3 2 2 + √ 3 = 2 + √ 3 2 = 1 + √ 3 2 2 = 1 + cos π 6 2 = cos π 12 · T`u. d´o suy r˘a`ng 2 √ 3 + i = 2 2 + √ 3 cos π 12 + i sin π 12 V´ı du. 2. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 1) 1 + cos ϕ + i sin ϕ, −π < ϕ < π. 2) 1 + cos ϕ + i sin ϕ, π < ϕ < 2π. 3) w = 1 + cos ϕ + i sin ϕ 1 + cos ϕ − i sin ϕ , 0 < ϕ < π 2 · Gia’i. 1) Ta c´o |z| = 2(1 + cos ϕ) = 2 cos ϕ 2 = 2 cos ϕ 2 v`ı −π < ϕ < π ⇒ − π 2 < ϕ 2 < π 2 ⇒ cos ϕ 2 > 0. Gia’ su.’ α = argz. Khi d´o cos α = 1 + cos ϕ 2 cos ϕ 2 = cos ϕ 2 , sin α = sin ϕ 2 cos ϕ 2 = sin ϕ 2 ·    ⇒ z = 2 cos ϕ 2 cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 .
  • 27. Sˆo´ ph´u.c 2) Trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta c´o r = |z| = 2(1 + cos ϕ) = 2 cos ϕ 2 = −2 cos ϕ 2 v`ı π 2 < ϕ 2 < π. Gia’ su.’ α = argz. Khi d´o cos α = 1 + cos ϕ −2 cos ϕ 2 = − cos ϕ 2 = cos ϕ 2 − π , sin α = sin ϕ −2 cos ϕ 2 = − sin ϕ 2 = sin ϕ 2 − π . T`u. d´o suy r˘a`ng 1 + cos ϕ + i sin ϕ = −2 cos ϕ 2 cos ϕ 2 − π + i sin ϕ 2 − π . 3) Tru.´o.c hˆe´t nhˆa.n x´et r˘a`ng |w| = 1 v`ı tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ cu’a n´o c´o modun b˘a`ng nhau. Ta t`ım da.ng lu.o. .ng gi´ac cu’a tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´. X´et tu.’ sˆo´: z1 = 1 + cos ϕ + i sin ϕ, ϕ ∈ 0, π 2 |z1| = 2(1 + cos ϕ) , ϕ1 = argz1 = arctg sin ϕ 1 + cos ϕ = arctg tg ϕ 2 = ϕ 2 ∈ − π 2 , π 2 . Tu.o.ng tu. ., dˆo´i v´o.i mˆa˜u sˆo´ z2 = 1 + cos ϕ − i sin ϕ ta c´o |z2| = 2(1 + cos ϕ) , ϕ2 = argz2 = arctg − sin ϕ 1 + cos ϕ = arctg − tg ϕ 2 = arctg tg − ϕ 2 = − ϕ 2 ∈ − π 2 , π 2 .
  • 28. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 27 T`u. d´o thu du.o. .c z2 = 2(1 + cos ϕ) cos − ϕ 2 + i sin − ϕ 2 v`a do vˆa.y w = 2(1 + cos ϕ) 2(1 + cos ϕ) × cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 cos − ϕ 2 + i sin − ϕ 2 = cos ϕ + i sin ϕ. V´ı du. 3. 1) T´ınh ( √ 3 + i)126 2) T´ınh acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c sau w = z4 − z2 nˆe´u argz = ϕ v`a |z| = 1. Gia’i. 1) Ta c´o √ 3 + i = 2 cos π 6 + i sin π 6 . T`u. d´o ´ap du.ng cˆong th´u.c Moivre ta thu du.o. .c: ( √ 3 + i)126 = 2126 cos 126π 6 + i sin 126π 6 = 2126 [cos π + i sin π] = −2126 . 2) Ta c´o w = z4 − z2 = cos 4ϕ + i sin 4ϕ − [cos 2ϕ − i sin 2ϕ] = cos 4ϕ − cos 2ϕ + i(sin 4ϕ + sin 2ϕ) = −2 sin 3ϕ sin ϕ + 2i sin 3ϕ cos ϕ = 2 sin 3ϕ[− sin ϕ + i cos ϕ]. (i) Nˆe´u sin 3ϕ > 0 (t´u.c l`a khi 2kπ 3 < ϕ < (2k + 1)π 3 , k ∈ Z) th`ı w = 2 sin 3ϕ cos π 2 + ϕ + i sin π 2 + ϕ . (ii) Nˆe´u sin 3ϕ < 0 (t´u.c l`a khi (2k − 1)π 3 < ϕ < 2kπ 3 , k ∈ Z) th`ı w = (−2 sin 3ϕ)[sin ϕ − i cos ϕ].
  • 29. Sˆo´ ph´u.c Ta t`ım da.ng lu.o. .ng gi´ac cu’a v = sin ϕ − i cos ϕ. Hiˆe’n nhiˆen |v| = 1. Ta t´ınh argv argv = arctg − cos ϕ sin ϕ = arctg(−cotgϕ) = arctg − tg π 2 − ϕ = arctg tg ϕ − π 2 = ϕ − π 2 · Nhu. vˆa.y nˆe´u sin 3ϕ < 0 th`ı w = (−2 sin 3ϕ) cos ϕ − π 2 + i sin ϕ − π 2 . (iii) Nˆe´u sin 3ϕ = 0 ⇒ ϕ = kπ 3 ⇒ w = 0. Nhu. vˆa.y argw =    π 2 + ϕ nˆe´u 2kπ 3 < ϕ < (2k + 1)π 3 , khˆong x´ac di.nh nˆe´u ϕ = kπ 3 , ϕ − π 2 nˆe´u (2k − 1)π 3 < ϕ < 2kπ 3 · V´ı du. 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1) cos π 9 + cos 3π 9 + cos 5π 9 + cos 7π 9 = 1 2 . 2) cos ϕ + cos(ϕ + α) + cos(ϕ + 2α) + · · · + cos(ϕ + nα) = sin (n + 1)α 2 cos ϕ + nα 2 sin α 2 · Gia’i. 1) D˘a.t S = cos π 9 + cos 3π 9 + · · · + cos 7π 9 , T = sin π 9 + sin 3π 9 + · · · + sin 7π 9 , z = cos π 9 + i sin π 9 .
  • 30. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 29 Khi d´o S + iT = z + z3 + z5 + z7 = z(1 − z8 ) 1 − z2 = z − z9 1 − z2 = z + 1 1 − z2 = 1 1 − z = 1 1 − cos π 9 − i sin π 9 = 1 − cos π 9 + i sin π 9 1 − cos π 9 2 + sin2 π 9 = 1 2 + sin π 9 2 1 − cos π 9 · Do d´o S = 1 2 · 2) Tu.o.ng tu. . nhu. trong 1) ta k´y hiˆe.u S = cos ϕ + cos(ϕ + α) + · · · + cos(ϕ + nα), T = sin ϕ + sin(ϕ + α) + · · · + sin(ϕ + nα), z = cos α + i sin α, c = cos ϕ + i sin ϕ. Khi d´o S + iT = c + cz + · · · + czn = c(1 − zn+1 ) 1 − z = (cos ϕ + i sin ϕ)[1 − cos(n + 1)α − i sin(n + 1)α] 1 − cos α − i sin α = (cos ϕ + i sin ϕ)2 sin (n + 1)α 2 cos (n + 1)α − π 2 + i sin (n + 1)α − π 2 2 sin α 2 cos α − π 2 + i sin α − π 2 = sin (n + 1)α 2 cos ϕ + nα 2 sin α 2 + sin (n + 1)α 2 sin ϕ + nα 2 sin α 2 i. T`u. d´o so s´anh phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o ta thu du.o. .c kˆe´t qua’. B˘a`ng phu.o.ng ph´ap tu.o.ng tu. . ta c´o thˆe’ t´ınh c´ac tˆo’ng da.ng a1 sin b1 + a2 sin b2 + · · · + an sin bn, a1 cos b1 + a2 cos b2 + · · · + an cos bn
  • 31. Sˆo´ ph´u.c nˆe´u c´ac acgumen b1, b2, . . . , bn lˆa.p nˆen cˆa´p sˆo´ cˆo.ng c`on c´ac hˆe. sˆo´ a1, a2, . . ., an lˆa.p nˆen cˆa´p sˆo´ nhˆan. V´ı du. 5. T´ınh tˆo’ng 1) Sn = 1 + a cos ϕ + a2 cos 2ϕ + · · · + an cos nϕ; 2) Tn = a sin ϕ + a2 sin 2ϕ + · · · + an sin nϕ. Gia’i. Ta lˆa.p biˆe’u th´u.c Sn + iTn v`a thu du.o. .c Σ = Sn + iTn = 1 + a(cos ϕ + i sin ϕ) + a2 (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) + . . . + an (cos nϕ + i sin nϕ). D˘a.t z = cos ϕ + i sin ϕ v`a ´ap du.ng cˆong th´u.c Moivre ta c´o: Σ = 1 + az + a2 z2 + · · · + an zn = an+1 zn+1 − 1 az − 1 (nhˆan tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ v´o.i a z − 1) = an+2 zn − an+1 zn+1 − a 2 + 1 a2 − a z + 1 z + 1 (do z + 1 z = 2 cos ϕ) = an+2 (cos nϕ + i sin nϕ) − an+1 [cos(n + 1)ϕ + i sin(n + 1)ϕ] a2 − 2a cos ϕ + 1 + −a cos ϕ + ai sin ϕ + 1 a2 − 2a cos ϕ + 1 = an+2 cos nϕ − an+1 cos(n + 1)ϕ − a cos ϕ + 1 a2 − 2a cos ϕ + 1 + + i an+2 sin nϕ − an+1 sin(n + 1)ϕ + a sin ϕ a2 − 2a cos ϕ + 1 · B˘a`ng c´ach so s´anh phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o ta thu du.o. .c c´ac kˆe´t qua’ cˆa`n du.o. .c t´ınh. V´ı du. 6. 1) Biˆe’u diˆe˜n tg5ϕ qua tgϕ.
  • 32. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 31 2) Biˆe’u diˆe˜n tuyˆe´n t´ınh sin5 ϕ qua c´ac h`am sin cu’a g´oc bˆo.i cu’a ϕ. 3) Biˆe’u diˆe˜n cos4 ϕ v`a sin4 ϕ·cos3 ϕ qua h`am cosin cu’a c´ac g´oc bˆo.i. Gia’i. 1) V`ı tg5ϕ = sin 5ϕ cos 5ϕ nˆen ta cˆa`n biˆe’u diˆe˜n sin 5ϕ v`a cos 5ϕ qua sin ϕ v`a cos ϕ. Theo cˆong th´u.c Moivre ta c´o cos 5ϕ + i sin 5ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ)5 = sin5 ϕ + 5i cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ − 10i cos2 ϕ sin3 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ + i sin5 ϕ. T´ach phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o ta thu du.o. .c biˆe’u th´u.c dˆo´i v´o.i sin 5ϕ v`a cos 5ϕ v`a t`u. d´o tg5ϕ = 5 cos4 ϕ sin ϕ − 10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ cos5 ϕ − 10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cos ϕ sin4 ϕ (chia tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ cho cos5 ϕ) = 5tgϕ − 10tg3 ϕ + tg5 ϕ 1 − 10tg2 ϕ + 5tg4 ϕ · 2) D˘a.t z = cos ϕ + i sin ϕ. Khi d´o z−1 = cos ϕ − i sin ϕ v`a theo cˆong th´u.c Moivre: zk = cos kϕ + i sin kϕ, z−k = cos kϕ − i sin kϕ. Do d´o cos ϕ = z + z−1 2 , sin ϕ = z − z−1 2i zk + z−k = 2 cos kϕ, zk − z−k = 2i sin kϕ. ´Ap du.ng c´ac kˆe´t qua’ n`ay ta c´o sin5 ϕ = z − z−1 2i 5 = z5 − 5z3 + 10z − 10z−1 + 5z−3 − z−5 32i = (z5 − z−5 ) − 5(z3 − z−3 ) + 10(z − z−1 ) 32i = 2i sin 5ϕ − 10i sin 3ϕ + 20i sin ϕ 32i = sin 5ϕ − 5 sin 3ϕ + 10 sin ϕ 16 ·
  • 33. Sˆo´ ph´u.c 3) Tu.o.ng tu. . nhu. trong phˆa`n 2) ho˘a.c gia’i theo c´ach sau dˆay 1+ cos4 ϕ = eiϕ + e−iϕ 2 4 = 1 16 e4iϕ + 4e2iϕ + 6 + 4e−2iϕ + e−4iϕ = 1 8 e4ϕi + e−4ϕi 2 + 1 2 e2ϕi + e−2ϕi 2 + 3 8 = 3 8 + 1 2 cos 2ϕ + 1 8 cos 4ϕ. 2+ sin4 ϕ cos3 ϕ = eϕi − e−ϕi 2i 4 eϕi + e−ϕi 2 3 = 1 128 e2ϕi − e−2ϕi 3 eϕi − e−ϕi = 1 128 e6ϕi − 3e2ϕi + 3e−2ϕi − e−6ϕi eϕi − e−ϕi = 1 128 e7ϕi − e5ϕi − 3e3ϕi + 3eϕi + 3e−ϕi − 3e−3ϕi − e−5ϕi + e−7ϕi = 3 64 cos ϕ − 3 64 cos 3ϕ − 1 64 cos 5ϕ − 1 64 cos 7ϕ. V´ı du. 7. 1) Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh 1+ (x + 1)n − (x − 1)n = 0 2+ (x + i)n + (x − i)n = 0, n > 1. 2) Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh 1 + ix 1 − ix n = 1 + ai 1 − ai , n ∈ N, a ∈ R dˆe`u l`a nghiˆe.m thu. .c kh´ac nhau. Gia’i. 1) Gia’i phu.o.ng tr`ınh 1+ Chia hai vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınh cho (x − 1)n ta du.o. .c x + 1 x − 1 n = 1 ⇒ x + 1 x − 1 = n √ 1 = cos 2kπ n + i sin 2kπ n = εk, k = 0, 1, . . . , n − 1.
  • 34. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 33 T`u. d´o suy r˘a`ng x + 1 = εk(x − 1) ⇒ x(εk − 1) = 1 + εk. Khi k = 0 ⇒ ε0 = 1. Do d´o v´o.i k = 0 phu.o.ng tr`ınh vˆo nghiˆe.m. V´o.i k = 1, n − 1 ta c´o x = εk + 1 εk − 1 = (εk + 1)(εk − 1) εk − 1)(εk − 1) = εkεk + εk − εk − 1 εkεk − εk − εk − 1 = −2i sin 2kπ n 2 − 2 cos 2kπ n = −i sin 2kπ n 1 − cos 2kπ n = icotg kπ n , k = 1, 2, . . . , n − 1. 2+ C˜ung nhu. trˆen, t`u. phu.o.ng tr`ınh d˜a cho ta c´o x + i x − i n = −1 ⇐⇒ x + i x − i = n √ −1 = cos π + 2kπ n + i sin π + 2kπ n hay l`a x + i x − i = cos (2k + 1)π n + i sin (2k + 1)π n = cos ψ + i sin ψ, ψ = (2k + 1)π n · Ta biˆe´n dˆo’i phu.o.ng tr`ınh: x + i x − i − 1 = cos ψ + i sin ψ − 1 ⇔ 2i x − i = 2i sin ψ 2 cos ψ 2 − 2 sin2 ψ 2 ⇔ 1 x − i = sin ψ 2 cos ψ 2 − 1 i sin ψ 2 = sin ψ 2 cos ψ 2 + i sin ψ 2 .
  • 35. Sˆo´ ph´u.c T`u. d´o suy ra x − i = 1 sin ψ 2 cos ψ 2 + i sin ψ 2 = cos ψ 2 − i sin ψ 2 sin ψ 2 = cotg ψ 2 − i. Nhu. vˆa.y x − i = cotg ψ 2 − i ⇒ x = cotg ψ 2 = cotg (2k + 1)π 2n , k = 0, n − 1. 2) Ta x´et vˆe´ pha’i cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho. Ta c´o 1 + ai 1 − ai = 1 ⇒ 1 + ai 1 − ai = cos α + i sin α v`a t`u. d´o 1 + xi 1 − xi = n 1 + ai 1 − ai = cos α + 2kπ n + i sin α + 2kπ n , k = 0, n − 1. T`u. d´o nˆe´u d˘a.t ψ = α + 2kπ n th`ı x = cos ψ − 1 + i sin ψ i[cosψ + 1 + i sin ψ] = tg ψ 2 = tg α + 2kπ 2n , k = 0, n − 1. R˜o r`ang d´o l`a nh˜u.ng nghiˆe.m thu. .c kh´ac nhau. V´ı du. 8. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i da.ng m˜u: 1) z = (− √ 3 + i) cos π 12 − i sin π 12 1 − i · 2) z = √ 3 + i.
  • 36. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 35 Gia’i. 1) D˘a.t z1 = − √ 3 + i, z2 = cos π 12 − i sin π 12 , z3 = 1 − i v`a biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c d´o du.´o.i da.ng m˜u. Ta c´o z1 = 2e 5π 6 i ; z2 = cos π 12 − i sin π 12 = cos − π 12 + i sin − π 12 = e− π 12 i ; z3 = √ 2e− π 4 i . T`u. d´o thu du.o. .c z = 2e 5π 6 i · e− π 12 i √ 2e− π 4 i = √ 2eiπ . 2) Tru.´o.c hˆe´t biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c z1 = √ 3 + i du.´o.i da.ng m˜u. Ta c´o |z1| = 2; ϕ = arg( √ 3 + i) = π 6 , do d´o √ 3 + i = 2e π 6 i . T`u. d´o thu du.o. .c wk = 4 √ 3 + i = 4 √ 2ei ( π 6 +2kπ) 4 = 4 √ 2ei (12k+1)π 24 , k = 0, 3. V´ı du. 9. T´ınh c´ac gi´a tri. 1) c˘an bˆa.c 3: w = 3 √ −2 + 2i 2) c˘an bˆa.c 4: w = 4 √ −4 3) c˘an bˆa.c 5: w = 5 √ 3 − i 8 + 8i . Gia’i. Phu.o.ng ph´ap tˆo´t nhˆa´t dˆe’ t´ınh gi´a tri. c´ac c˘an th´u.c l`a biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i dˆa´u c˘an du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac (ho˘a.c da.ng m˜u) rˆo`i ´ap du.ng c´ac cˆong th´u.c tu.o.ng ´u.ng. 1) Biˆe’u diˆe˜n z = −2 + 2i du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac. Ta c´o r = |z| = √ 8 = 2 √ 2; ϕ = arg(−2 + 2i) = 3π 4 ·
  • 37. Sˆo´ ph´u.c Do d´o wk = 3 √ 8 cos 3π 4 + 2kπ 3 + i sin 3π 4 + 2kπ 3 , k = 0, 2. T`u. d´o w0 = √ 2 cos π 4 + i sin π 4 = 1 + i, w1 = √ 2 cos 11π 12 + i sin 11π 12 , w2 = √ 2 cos 19π 12 + i sin 19π 12 . 2) Ta c´o −4 = 4[cos π + i sin π] v`a do d´o wk = 4 √ 4 cos π + 2kπ 4 + i sin π + 2kπ 4 , k = 0, 3. T`u. d´o w0 = √ 2 cos π 4 + i sin π 4 = 1 + i, w1 = √ 2 cos 3π 4 + i sin 3π 4 = −1 + i, w2 = √ 2 cos 5π 4 + i sin 5π 4 = −1 − i, w3 = √ 2 cos 7π 4 + i sin 7π 4 = 1 − i. 3) D˘a.t z = √ 3 − i 8 + 8i · Khi d´o |z| = √ 3 + 1 √ 64 + 64 = 1 4 √ 2 . Ta t´ınh argz. Ta c´o argz = arg( √ 3 − i) − arg(8 + 8i) = − π 6 − π 4 = − 5π 12 ·
  • 38. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 37 Do vˆa.y wk = 5 1 4 √ 2 cos − 5π 12 + 2kπ 5 + i sin − 5π 12 + 2kπ 5 = 1 √ 2 cos − π 12 + 2kπ 5 + i sin − π 12 + 2kπ 5 , k = 0, 4. V´ı du. 10. 1) T´ınh tˆo’ng mo.i c˘an bˆa.c n cu’a 1. 2) T´ınh tˆo’ng 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 , trong d´o ε l`a c˘an bˆa.c n cu’a do.n vi.. 3) T´ınh tˆo’ng c´ac lu˜y th`u.a bˆa.c k cu’a mo.i c˘an bˆa.c n cu’a sˆo´ ph´u.c α. Gia’i. 1) Dˆa`u tiˆen ta viˆe´t c´ac c˘an bˆa.c n cu’a 1. Ta c´o εk = n √ 1 = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , k = 0, n − 1. T`u. d´o ε0 = 1, ε1 = ε = cos 2π n + i sin 2π n , εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n = cos 2π n + i sin 2π n k = εk , k = 1, 2, . . . , n − 1. Nhu. vˆa.y mo.i nghiˆe.m cu’a c˘an bˆa.c n cu’a 1 c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng 1, ε, ε2 , . . ., εn−1 . Bˆay gi`o. ta t´ınh S = 1 + ε + ε2 + · · · + εn−1 = 1 − εn 1 − ε · Nˆe´u n > 1 th`ı εn = 1 v`a do d´o S = 1 − εn 1 − ε = 0.
  • 39. Sˆo´ ph´u.c 2) Ta k´y hiˆe.u tˆo’ng cˆa`n t´ınh l`a S. Ta x´et biˆe’u th´u.c (1 − ε)S = S − εS = 1 + 2ε + 3ε2 + · · · + nεn−1 − ε − 2ε2 − · · · − (n − 1)εn−1 − nεn = 1 + ε + ε2 + · · · + εn−1 0(ε=1) −nεn = −n v`ı εn = 1. Nhu. vˆa.y (1 − ε)S = −n → S = −n 1 − ε nˆe´u ε = 1. Nˆe´u ε = 1 th`ı S = 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2 · 3) Gia’ su.’ β0 l`a mˆo.t trong c´ac gi´a tri. c˘an cu’a α. Khi d´o (v´o.i α = 0) mo.i c˘an bˆa.c n cu’a α c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da.ng t´ıch β0εk, k = 1, 2, . . . , n − 1, trong d´o εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n l`a c˘an bˆa.c n cu’a 1. T`u. d´o tˆo’ng cˆa`n t`ım S b˘a`ng S = βk 0 + (β0ε1)k + (β0ε2)k + · · · + (β0εn−1)k = βk 0 (1 + εk 1 + εk 2 + · · · + εk n−1) εk m = cos 2mπ n + i sin 2mπ n k = cos 2π n + i sin 2π n mk = βk 0 1 + εk 1 + ε2k 1 + · · · + ε (n−1)k 1 . Biˆe’u th´u.c trong dˆa´u ngo˘a.c vuˆong l`a cˆa´p sˆo´ nhˆan. Nˆe´u εk 1 = 1, t´u.c l`a k khˆong chia hˆe´t cho n th`ı S = βk 0 1 − εnk 1 1 − εk 1 = βk 0 1 − 1 1 − εk 1 = 0 (v`ı εn 1 = 1).
  • 40. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 39 Nˆe´u εk 1 = 1 t´u.c l`a k chia hˆe´t cho n, k = nq th`ı S = βnq 0 [1 + 1 + · · · + 1] = βnq 0 n = nαq (v`ı βn 0 = α). Nhu. vˆa.y S =    0 nˆe´u k chia hˆe´t cho n; nαq nˆe´u k = nq, q ∈ Z. B`AI TˆA. P 1. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 1) −1 + i √ 3 (DS. 2 cos 2π 3 + i sin 2π 3 ) 2) √ 3 − i (DS. 2 cos 11π 6 + i sin 11π 6 ) 3) − √ 3 − i (DS. 2 cos 7π 6 + i sin 7π 6 ) 4) √ 3 2 + i 2 (DS. cos π 6 + i sin π 6 ) 5) − √ 3 2 + 1 2 i (DS. cos 5π 6 + i sin 5π 6 ) 6) 1 2 − i √ 3 2 (DS. cos 5π 3 + i sin 5π 3 ) 7) − 1 2 − i √ 3 2 (DS. cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) 8) 2 + √ 3 − i (DS. 2 2 + √ 3 cos 23π 12 + i sin 23π 12 ) 9) 2 − √ 3 − i (DS. 2 2 − √ 3 cos 19π 12 + i sin 19π 12 ) 2. Biˆe’u diˆe˜n c´ac sˆo´ ph´u.c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 1) − cos ϕ + i sin ϕ (DS. cos(π − ϕ) + i sin(π − ϕ)) 2) − sin ϕ + i cos ϕ (DS. cos π 2 + ϕ + i sin π 2 + ϕ))
  • 41. Sˆo´ ph´u.c 3) cos ϕ − i sin ϕ (DS. cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) 4) − cos ϕ − i sin ϕ (DS. cos(π + ϕ) + i sin(π + ϕ)) B˘a`ng c´ach d˘a.t α = θ + 2kπ, trong d´o 0 θ < 2π, ta c´o: 5) 1+cos α+i sin α (DS. 2 cos θ 2 cos θ 2 +i sin θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos θ + 2π 2 + i sin θ + 2π 2 v´o.i π θ < 2π) 6) 1 − cos α + i sin α (DS. 2 sin θ 2 cos π − θ 2 + i sin π − θ 2 ) 7) sin α + i(1 + cos α) (DS. 2 cos θ 2 cos π − θ 2 + i sin π − θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos 3π − θ 2 + i sin 3π − θ 2 v´o.i π θ < 2π) 8) − sin α + i(1 + cos α) (DS. 2 cos θ 2 cos π + θ 2 + i sin π + θ 2 v´o.i 0 θ < π; −2 cos θ 2 cos 3π + θ 2 + i sin 3π + θ 2 v´o.i π θ < 2π) 3. T´ınh: 1) cos π 6 − i sin π 6 100 (DS. − 1 2 − i √ 3 2 ) 2) 4 √ 3 + i 12 (DS. 212 ) 3) ( √ 3 + i)6 (−1 + i)8 − (1 + i)4 (DS. −3, 2) 4) (−i − √ 3)15 (1 − i)20 + (−i + √ 3)15 (1 + i)20 (DS. −64i) 5) (1 + i)100 (1 − i)96 + (1 + i)96 (DS. −2) 6) (1 + icotgϕ)5 1 − icotgϕ)5 (DS. cos(π − 10ϕ) + i sin(π − 10ϕ)) 7) (1 − i √ 3)(cos ϕ + i sin ϕ) 2(1 − i)(cos ϕ − i sin ϕ) (DS. √ 2 2 cos 6ϕ − π 12 + i sin 6ϕ − π 12 )
  • 42. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 41 8) (1 + i √ 3)3n (1 + i)4n (DS. 2) 4. Ch´u.ng minh r˘a`ng z + 1 z = 2 cos ϕ ⇒ zn + 1 zn = 2 cos nϕ. 5. H˜ay biˆe’u diˆe˜n c´ac h`am sau dˆay qua sin ϕ v`a cos ϕ 1) sin 3ϕ (DS. 3 cos2 ϕ sin ϕ − sin3 ϕ) 2) cos 3ϕ (DS. cos3 ϕ − 3 cos ϕ sin2 ϕ) 3) sin 4ϕ (DS. 4 cos3 ϕ sin ϕ − 4 cos ϕ sin3 ϕ) 4) cos 4ϕ (DS. cos4 ϕ − 6 cos2 ϕ sin2 ϕ + sin4 ϕ) 6. H˜ay biˆe’u diˆe˜n c´ac h`am sau qua tgx 1) tg4ϕ (DS. 4tgϕ − 4tg3 ϕ 1 − 6tg2 ϕ + tg4 ϕ ) 2) tg6ϕ (DS. 6tgϕ − 20tg3 ϕ + 6tg5 ϕ 1 − 15tg2 ϕ + 15tg4 ϕ − tg6 ϕ ) 7. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1 − C2 n + C4 n − C6 n + . . . = 2 n 2 cos nπ 4 · C1 n − C3 n + C5 n − C7 n + . . . = 2 n 2 sin nπ 4 · Chı’ dˆa˜n. T´ınh (1 + i)n b˘a`ng c´ach su.’ du.ng cˆong th´u.c Moivre v`a su.’ du.ng cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton rˆo`i so s´anh phˆa`n thu. .c v`a phˆa`n a’o c´ac sˆo´ thu du.o. .c. 8. Ch´u.ng minh r˘a`ng 1) cos π 5 + cos 3π 5 = 1 2 2) cos π 7 + cos 3π 7 + cos 5π 7 = 1 2 3) cos 2π 5 + cos 4π 5 = − 1 2 4) cos 2π 7 + cos 4π 7 + cos 6π 7 = − 1 2 5) cos 2π 9 + cos 4π 9 + cos 6π 9 + cos 8π 9 = − 1 2
  • 43. Sˆo´ ph´u.c 9. Gia’i phu.o.ng tr`ınh i − x i + x n = cotgα + i cotgα − i , n ∈ N, α ∈ R. (DS. x = tg α + kπ n , k = 0, n − 1) 10. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A l`a sˆo´ ph´u.c c´o modun = 1 th`ı mo.i nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh 1 + ix 1 − ix n = A dˆe`u l`a nghiˆe.m thu. .c v`a kh´ac nhau. 11. Gia’i phu.o.ng tr`ınh xn − naxn−1 − C2 na2 xn−2 − · · · − an = 0. (DS. xk = a εk √ 2 − 1 , k = 0, n − 1) Chı’ dˆa˜n. D`ung cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton dˆe’ du.a phu.o.ng tr`ınh vˆe` da.ng xn = (x + a)n − xn . 12. Gia’i phu.o.ng tr`ınh x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0. (DS. xk = cos kπ 3 + i sin kπ 3 , k = 1, 2, 3, 4, 5) 13. Gia’i phu.o.ng tr`ınh x5 + αx4 + α2 x3 + α3 x2 + α4 x + α5 = 0, α ∈ C, α = 0. (DS. xk = α cos kπ 3 + i sin kπ 3 , k = 1, 2, 3, 4, 5) Chı’ dˆa˜n. Vˆe´ tr´ai l`a tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan v´o.i cˆong bˆo.i b˘a`ng α x . 14. Gia’ su.’ n ∈ N, n > 1, c = 0, c ∈ R. Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh sau dˆay
  • 44. sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o. .ng gi´ac 43 1) (x + c)n − (x − c)n = 0 (DS. x = −ccotg kπ n , k = 1, n − 1) 2) (x + ci)n − (x − ci)n = 0 (DS. x = −cicotg kπ n , k = 1, n − 1) 3) (x + ci)n + i(x − ci)n = 0 (DS. x = −cicotg (3 + 4k)π 4n , k = 0, n − 1) 4) (x + ci)n − (cos α + i sin α)(x − ci)n = 0, α = 2kπ. (DS. x = −cicotg α + 2kπ 2n , k = 0, n − 1) 15. T´ınh Dn(x) = 1 2π 1 2 + cos x + cos 2x + · · · + cos nx . (DS. Dn(x) = 1 2π sin 2n + 1 2 x 2 sin x 2 ) 16. 1) Biˆe’u diˆe˜n cos 5x v`a sin 5x qua cos x v`a sin x. 2) T´ınh cos 2π 5 v`a sin 2π 5 . (DS. 1) cos 5x = cos5 x − 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x, sin 5x = 5 cos4 x sin x − 10 cos2 x sin3 x + sin5 x. 2) sin 2π 5 = 10 + 2 √ 5 4 , cos 2π 5 = √ 5 − 1 4 ) Chı’ dˆa˜n. Dˆe’ t´ınh sin 2π 5 cˆa`n su.’ du.ng biˆe’u th´u.c cu’a sin 5x.
  • 45. th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 2.1 D- a th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C . . . . . . . 45 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R . . . . . . . 46 2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.1 D- a th´u.c Da th´u.c mˆo.t biˆe´n v´o.i hˆe. sˆo´ thuˆo.c tru.`o.ng sˆo´ P du.o. .c biˆe’u diˆe˜n do.n tri. du.´o.i da.ng tˆo’ng h˜u.u ha.n Q(x) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an (2.1) trong d´o z l`a biˆe´n, a0, a1, . . ., an l`a c´ac sˆo´; v`a mˆo˜i tˆo’ng da.ng (2.1) dˆe`u l`a da th´u.c. K´y hiˆe.u: Q(z) ∈ P[z]. Nˆe´u a0, a1, . . ., an ∈ C th`ı ngu.`o.i ta n´oi r˘a`ng Q(z) l`a da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c: Q(z) ∈ C[z]. Nˆe´u a0, a1, . . ., an ∈ R th`ı Q(z) l`a da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c: Q(z) ∈ R[z].
  • 46. th´u.c 45 Nˆe´u Q(z) = 0 th`ı bˆa.c cu’a n´o (k´y hiˆe.u degQ(z)) l`a sˆo´ m˜u cao nhˆa´t cu’a mo.i lu˜y th`u.a cu’a c´ac sˆo´ ha.ng = 0 cu’a da th´u.c v`a hˆe. sˆo´ cu’a sˆo´ ha.ng c´o lu˜y th`u.a cao nhˆa´t d´o go.i l`a hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t. Nˆe´u P(z) v`a Q(z) ∈ P[z] l`a c˘a.p da th´u.c v`a Q(z) = 0 th`ı tˆo`n ta.i c˘a.p da th´u.c h(z) v`a r(z) ∈ P[z] sao cho 1+ P = Qh + r, 2+ ho˘a.c r(z) = 0, ho˘a.c degr < degQ. D- i.nh l´y B´ezout. Phˆa`n du. cu’a ph´ep chia da th´u.c P(z) cho nhi. th´u.c z − α l`a h˘a`ng P(α) (r = P(α)). 2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C Gia’ su.’ Q(z) ∈ C[z]. Nˆe´u thay z bo.’ i sˆo´ α th`ı ta thu du.o. .c sˆo´ ph´u.c Q(α) = a0αn + a1αn−1 + · · · + an−1α + an. D- i.nh ngh˜ıa 2.1.1. Nˆe´u Q(α) = 0 th`ı sˆo´ z = α du.o. .c go.i l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c Q(z) hay cu’a phu.o.ng tr`ınh da.i sˆo´ Q(z) = 0. D- i.nh l´y Descate. Da th´u.c Q(z) chia hˆe´t cho nhi. th´u.c z − α khi v`a chı’ khi α l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P(z) (t´u.c l`a P(α) = 0). D- i.nh ngh˜ıa 2.1.2. Sˆo´ ph´u.c α l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c Q(z) nˆe´u v`a chı’ nˆe´u Q(z) chia hˆe´t cho (z − α)m nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho (z − α)m+1 . Sˆo´ m du.o. .c go.i l`a bˆo. i cu’a nghiˆe.m α. Khi m = 1, sˆo´ α go.i l`a nghiˆe.m do.n cu’a Q(z). Trong tiˆe´t 2.1.1 ta biˆe´t r˘a`ng tˆa.p ho. .p sˆo´ ph´u.c C du.o. .c lˆa.p nˆen b˘a`ng c´ach gh´ep thˆem v`ao cho tˆa.p ho. .p sˆo´ thu. .c R mˆo.t nghiˆe.m a’o x = i cu’a phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0 v`a mˆo.t khi d˜a gh´ep i v`ao th`ı mo.i phu.o.ng tr`ınh da th´u.c dˆe`u c´o nghiˆe.m ph´u.c thu. .c su. .. Do d´o khˆong cˆa`n pha’i s´ang ta.o thˆem c´ac sˆo´ m´o.i dˆe’ gia’i phu.o.ng tr`ınh (v`ı thˆe´ C c`on du.o. .c go.i l`a tru.`o.ng d´ong da.i sˆo´). D- i.nh l´y Gauss (di.nh l´y co. ba’n cu’a da.i sˆo´).
  • 47. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ Mo.i da th´u.c da. i sˆo´ bˆa. c n (n 1) trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c dˆe`u c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t nghiˆe.m ph´u.c. T`u. di.nh l´y Gauss r´ut ra c´ac hˆe. qua’ sau. 1+ Mo.i da th´u.c bˆa.c n (n 1) trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c dˆe`u c´o d´ung n nghiˆe.m nˆe´u mˆo˜i nghiˆe.m du.o. .c t´ınh mˆo.t sˆo´ lˆa`n b˘a`ng bˆo.i cu’a n´o, t´u.c l`a Q(x) = a0(z − α1)m1 (z − α2)m2 · · · (z − αk)mk , (2.2) trong d´o αi = αj ∀ i = j v`a m1 + m2 + · · · + mk = n. Da th´u.c (2.1) v´o.i hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t a0 = 1 du.o. .c go.i l`a da th´u.c thu go. n. 2+ Nˆe´u z0 l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c Q(z) th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i n´o z0 l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c liˆen ho. .p Q(z), trong d´o da th´u.c Q(z) du.o. .c x´ac di.nh bo.’ i Q(z) def = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an. (2.3) 2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c R Gia’ su.’ Q(z) = zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an (2.4) l`a da th´u.c quy go.n v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c a1, a2, . . . , an. Da th´u.c n`ay c´o t´ınh chˆa´t d˘a.c biˆe.t sau dˆay. D- i.nh l´y 2.1.1. Nˆe´u sˆo´ ph´u.c α l`a nghiˆe.m bˆo. i m cu’a da th´u.c (2.4) v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i n´o α c˜ung l`a nghiˆe.m bˆo. i m cu’a da th´u.c d´o. Su.’ du.ng di.nh l´y trˆen dˆay ta c´o thˆe’ t`ım khai triˆe’n da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c Q(z) th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´. Vˆe` sau ta thu.`o.ng chı’ x´et da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c v´o.i biˆe´n chı’ nhˆa.n gi´a tri. thu. .c nˆen biˆe´n d´o ta k´y hiˆe.u l`a x thay cho z.
  • 48. th´u.c 47 D- i.nh l´y 2.1.2. Gia’ su.’ da th´u.c Q(x) c´o c´ac nghiˆe.m thu. .c b1, b2, . . ., bm v´o.i bˆo. i tu.o.ng ´u.ng β1, β2, . . . , βm v`a c´ac c˘a. p nghiˆe.m ph´u.c liˆen ho. .p a1 v`a a1, a2 v`a a2, . . ., an v`a an v´o.i bˆo. i tu.o.ng ´u.ng λ1, λ2, . . ., λn. Khi d´o Q(x) = (x − b1)β1 (x − b2)β2 · · · (x − bm)βm (x2 + p1x + q1)λ1 × × (x2 + p2x + q2)λ2 · · · (x2 + pnx + qb)λn . (2.5) D- i.nh l´y 2.1.3. Nˆe´u da th´u.c Q(x) = xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an v´o.i hˆe. sˆo´ nguyˆen v`a v´o.i hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t b˘a`ng 1 c´o nghiˆe.m h˜u.u ty’ th`ı nghiˆe.m d´o l`a sˆo´ nguyˆen. Dˆo´i v´o.i da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ h˜u.u ty’ ta c´o D- i.nh l´y 2.1.4. Nˆe´u phˆan sˆo´ tˆo´i gia’n m ( , m ∈ Z, m > 0) l`a nghiˆe.m h˜u.u ty’ cu’a phu.o.ng tr`ınh v´o.i hˆe. sˆo´ h˜u.u ty’ a0xn +a1xn−1 +· · ·+an−1x+ an = 0 th`ı l`a u.´o.c cu’a sˆo´ ha. ng tu. . do an v`a m l`a u.´o.c cu’a hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t a0. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Gia’ su.’ P(z) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an. Ch´u.ng minh r˘a`ng: 1+ Nˆe´u P(z) ∈ C[z] th`ı P(z) = P(z). 2+ Nˆe´u P(z) ∈ R[z] th`ı P(z) = P(z). Gia’i. 1+ ´Ap du.ng c´ac t´ınh chˆa´t cu’a ph´ep to´an lˆa´y liˆen ho. .p ta thu du.o. .c p(Z) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an = a0(z)n + a1(z)n−1 + · · · + an−1z + an = P(z).
  • 49. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 2+ Gia’ su.’ P(z) ∈ R[z]. Khi d´o P(z) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an = a0(z)n + a1(z)n−1 + · · · + an−1z + an = a0(z)n + a1(z)n−1 + · · · + an−1z + an = P(z). T`u. d´o c˜ung thu du.o. .c P(z) = P(z) v`ı P(z) = P(z). V´ı du. 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c P(z) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an, a0 = 0 th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c P(z) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an−1z + an (go.i l`a da th´u.c liˆen ho. .p ph´u.c v´o.i da th´u.c P(z)). Gia’i. T`u. v´ı du. 1 ta c´o P(z) = P(z). (2.6) V`ı a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a P(z) nˆen P(z) = (z − a)m Q(z), Q(a) = 0 (2.7) trong d´o Q(z) l`a da th´u.c bˆa.c n − m. T`u. (2.6) v`a (2.7) suy ra P(z) = P(z) = (z − a)mQ(z) = (z − a)m Q(z). (2.8) Ta c`on cˆa`n ch´u.ng minh r˘a`ng Q(a) = 0. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u Q(a) = 0 th`ı b˘a`ng c´ach lˆa´y liˆen ho. .p ph´u.c mˆo.t lˆa`n n˜u.a ta c´o Q(a) = Q(a) = 0 ⇒ Q(a) = 0. Diˆe`u n`ay vˆo l´y. B˘a`ng c´ach d˘a.t t = z, t`u. (2.8) thu du.o. .c P(t) = (t − a)m Q(t), Q(a) = 0.
  • 50. th´u.c 49 D˘a’ng th´u.c n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng t = a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c P(t). V´ı du. 3. Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c P(z) = a0zn + a1zn−1 + · · · + an (a0 = 0) th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho. .p a c˜ung l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a ch´ınh da th´u.c d´o. Gia’i. T`u. v´ı du. 1, 2+ ta c´o P(z) = P(z) (2.9) v`a do a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a n´o nˆen P(z) = (z − a)m Q(z) (2.10) trong d´o Q(z) l`a da th´u.c bˆa.c n − m v`a Q(a) = 0. Ta cˆa`n ch´u.ng minh r˘a`ng P(z) = (z − a)m Q(z), Q(a) = 0. (2.11) Thˆa.t vˆa.y t`u. (2.9) v`a (2.10) ta c´o P(z) = (z − a)mQ(z) = (z − a)m · Q(z) = (z − a) m Q(z) = (z − a)m Q(z) v`ı theo (2.9) Q(z) = Q(z) ⇒ Q(z) = Q(z). Ta c`on cˆa`n ch´u.ng minh Q(a) = 0. Thˆa.t vˆa.y v`ı Q(a) = 0 nˆen Q(a) = 0 v`a do d´o Q(a) = 0 v`ı dˆo´i v´o.i da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c th`ı Q(t) = Q(t). V´ı du. 4. Gia’i phu.o.ng tr`ınh z3 − 4z2 + 4z − 3 = 0. Gia’i. T`u. di.nh l´y 4 suy r˘a`ng c´ac nghiˆe.m nguyˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh v´o.i hˆe. sˆo´ nguyˆen dˆe`u l`a u.´o.c cu’a sˆo´ ha.ng tu. . do a = −3. Sˆo´ ha.ng tu. . do
  • 51. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ a = −3 c´o c´ac u.´o.c l`a ±1, ±3. B˘a`ng c´ach kiˆe’m tra ta thu du.o. .c z0 = 3 l`a nghiˆe.m nguyˆen. T`u. d´o z3 − 4z2 + 4z − 3 = (z − 3)(z2 − z + 1) = (z − 3)(z − 1 2 + i √ 3 2 z − 1 2 − i √ 3 2 hay l`a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho c´o ba nghiˆe.m l`a z0 = 3, z1 = 1 2 − i √ 3 2 ; z2 = 1 2 + i √ 3 2 · V´ı du. 5. Biˆe’u diˆe˜n da th´u.c P6(z) = z6 − 3z4 + 4z2 − 12 du.´o.i da.ng: 1+ t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh; 2+ t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v´o.i tam th´u.c bˆa.c hai v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c. Gia’i. Ta t`ım mo.i nghiˆe.m cu’a da th´u.c P(z). V`ı z6 − 3z4 + 4z2 − 12 = (z2 − 3)(z4 + 4) nˆen r˜o r`ang l`a z1 = − √ 3, z2 = √ 3, z3 = 1 + i, z4 = 1 − i, z5 = −1 + i, z6 = −1 − i. T`u. d´o 1+ P6(z) = (z− √ 3)(z+ √ 3)(z−1−i)(z−1+i)(z+1−i)(z+1+i) 2+ B˘a`ng c´ach nhˆan c´ac c˘a.p nhi. th´u.c tuyˆe´n t´ınh tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac nghiˆe.m ph´u.c liˆen ho. .p v´o.i nhau ta thu du.o. .c P6(z) = (z − √ 3)(z + √ 3)(z2 − 2z + 2)(z2 + 2z + 2). V´ı du. 6. T`ım da th´u.c hˆe. sˆo´ thu. .c c´o lu˜y th`u.a thˆa´p nhˆa´t sao cho c´ac sˆo´ z1 = 3, z2 = 2 − i l`a nghiˆe.m cu’a n´o.
  • 52. th´u.c 51 Gia’i. V`ı da th´u.c chı’ c´o hˆe. sˆo´ thu. .c nˆen c´ac nghiˆe.m ph´u.c xuˆa´t hiˆe.n t`u.ng c˘a.p liˆen ho. .p ph´u.c, ngh˜ıa l`a nˆe´u z2 = 2 − i l`a nghiˆe.m cu’a n´o th`ı z2 = 2 + i c˜ung l`a nghiˆe.m cu’a n´o. Do d´o P(z) = (z − 3)(z − 2 + i)(z − 2 − i) = z3 − 7z2 + 17z − 15. V´ı du. 7. Phˆan t´ıch da th´u.c (x + 1)n − (x − 1)n th`anh c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh. Gia’i. Ta c´o P(x) = (x + 1)n − (x − 1)n = [xn + nxn−1 + . . . ] − [xn − nxn−1 + . . . ] = 2nxn−1 + . . . Nhu. vˆa.y P(x) l`a da th´u.c bˆa.c n − 1 v´o.i hˆe. sˆo´ cao nhˆa´t b˘a`ng 2n. Dˆo´i v´o.i da th´u.c n`ay ta d˜a biˆe´t (§1) nghiˆe.m cu’a n´o: xk = icotg kπ n , k = 1, 2, . . . , n − 1. Do d´o (x + 1)n − (x − 1)n = 2n x − icotg π n x − icotg 2π n · · · x − icotg (n − 1)π n . Khi phˆan t´ıch da th´u.c trˆen tru.`o.ng P th`anh th`u.a sˆo´ ta thu.`o.ng g˘a.p nh˜u.ng da th´u.c khˆong thˆe’ phˆan t´ıch th`anh t´ıch hai da th´u.c c´o bˆa.c thˆa´p ho.n trˆen c`ung tru.`o.ng P d´o. Nh˜u.ng da th´u.c n`ay du.o. .c go.i l`a da th´u.c bˆa´t kha’ quy. Ch˘a’ng ha.n: da th´u.c x2 − 2 l`a kha’ quy trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c v`ı: x2 − 2 = (x − √ 2)(x + √ 2)
  • 53. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ nhu.ng bˆa´t kha’ quy trˆen tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u x2 − 2 = (ax + b)(cx + d); a, b, c, d ∈ Q th`ı b˘a`ng c´ach d˘a.t x = − b a ta c´o b2 a2 − 2 = 0 ⇒ √ 2 = ± b a v`a √ 2 l`a sˆo´ h˜u.u ty’. Vˆo l´y. V´ı du. 8. Phˆan t´ıch da th´u.c xn − 1 th`anh t´ıch c´ac da th´u.c bˆa´t kha’ quy trˆen R. Gia’i. Dˆa`u tiˆen ta khai triˆe’n da th´u.c d˜a cho th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh xn − 1 = (x − ε0)(x − ε1) · · · (x − εn−1), εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , k = 0, n − 1 v`a t´ach ra c´ac nhi. th´u.c thu. .c. Ta c´o εk ∈ R nˆe´u sin 2kπ n = 0 ⇒ 2k ... n, 0 k < n − 1. T`u. d´o 1+ Nˆe´u n l`a sˆo´ le’ th`ı diˆe`u d´o (2k ... n) chı’ xˆa’y ra khi k = 0 (v`ı k < n) v`a khi d´o ε0 = 1. 2+ Nˆe´u n l`a sˆo´ ch˘a˜n (n = 2m) th`ı nghiˆe.m εk chı’ thu. .c khi k = 0 v`a k = m. Do d´o ε0 = 1, εm = −1. Dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri. k c`on la.i εk khˆong l`a sˆo´ thu. .c. Dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri. k n`ay ta c´o sin 2(n − k)π n = sin 2π − 2kπ n = − sin 2kπ n v`a do d´o εn−k = εk ⇒ ε1 = εn−1, ε2 = εn−2, . . .
  • 54. th´u.c 53 M˘a.t kh´ac (x − εk)(x − εk) = x2 − (εk + εk)x + εkεk = x2 − x · 2 cos 2kπ n + 1. Do d´o xn − 1 =    (x − 1) n−1 2 k=1 x2 − x · 2 cos 2kπ n + 1 nˆe´u n l`a sˆo´ le’, (x − 1)(x + 1) n−2 2 k=1 x2 − x · 2 cos 2kπ n + 1 nˆe´u n l`a sˆo´ ch˘a˜n. B`AI TˆA. P 1. Ch´u.ng minh r˘a`ng sˆo´ z0 = 1 + i l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P4(z) = 3z4 − 5z3 + 3z2 + 4z − 2. T`ım c´ac nghiˆe.m c`on la.i. (DS. z1 = 1 − i, z2 = −1 + √ 13 6 , z3 = −1 − √ 13 6 ) 2. Ch´u.ng minh r˘a`ng sˆo´ z0 = i l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P4(z) = z4 + z3 + 2z2 + z + 1. T`ım c´ac nghiˆe.m c`on la.i. (DS. z1 = −i, z2 = −1 + √ 3i 2 , z3 = −1 − i √ 3 2 ) 3. X´ac di.nh bˆo.i cu’a nghiˆe.m z0 = 1 cu’a da th´u.c P4(z) = z4 − 5z3 + 9z2 − 7z + 2. (DS. 3) 4. X´ac di.nh bˆo.i cu’a nghiˆe.m z0 = 2 cu’a da th´u.c P5(z) = z5 − 5z4 + 7z3 − 2z2 + 4z − 8. (DS. 3)
  • 55. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 5. T`ım da th´u.c hˆe. sˆo´ thu. .c c´o lu˜y th`u.a thˆa´p nhˆa´t sao cho sˆo´ z1 = i l`a nghiˆe.m k´ep v`a z2 = −1 − i l`a nghiˆe.m do.n cu’a n´o. (DS. z6 + 2z5 + 4z4 + 4z3 + 5z2 + 2z + 2) 6. Phˆan t´ıch c´ac da th´u.c d˜a cho th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh 1) z3 − 6z2 + 11z − 6 (DS. (z − 1)(z − 2)(z − 3)) 2) 6z4 − 11z3 − z2 − 4 (DS. 6(z − 2) z + 2 3 z − 1 + i √ 3 2 z − 1 − i √ 3 2 . 3) 3z4 − 23z2 − 36 (DS. 3(z − 3)(z + 3) z − i 2 √ 3 z + i 2 √ 3 ) 4) zn − 1 (DS. (z − ε0)(z − ε1) · · · (z − εn−1), εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , k = 0, n − 1) 5) z4 + 4 (DS. (z − 1 − i)(z − 1 + i)(z + 1 − i)(z + 1 + i)) 6) z4 + 16 (DS. (z − √ 2(1 + i))(z − √ 2(1 − i))(z + √ 2(1 + i))(z + √ 2(1 − i))) 7) z4 + 8z3 + 8z − 1 (DS. (z − i)(z + i)(z + 4 − √ 17)(z + 4 + √ 17)) 8) z3 + z + 2 (DS. (z + 1) z − 1 + i √ 7 2 z − 1 − i √ 7 2 ) 7. Phˆan t´ıch c´ac da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu. .c th`anh c´ac da th´u.c bˆa´t kha’ quy trˆen c`ung tru.`o.ng d´o. 1) x3 + x + 2 (DS. (x + 1)(x2 − x + 2)) 2) x4 + 16 (DS. (x2 − 2x √ 2 + 4)(x2 + 2 √ 2x + 4)) 3) x4 + 8x3 + 8x − 1 (DS. (x2 + 1)(x + 4 − √ 17)(x + 4 + √ 17)) 4) x4 + 2x3 + 3x2 + 2x − 3 (DS. x − √ 5 − 1 2 x + √ 5 + 1 2 (x2 + x + 3)) 5) x10 − 2x5 + 2 (DS. 4 k=0 x2 − 2 10 √ 2 cos 8k + 1 20 π + 5 √ 2 ) 6) x4 + x3 + x2 + x + 1
  • 56. h˜u.u ty’ 55 (DS. x2 − √ 5 − 1 2 x + 1 x2 + √ 5 + 1 2 x + 1 ) Chı’ dˆa˜n. D˘a.t x2 l`am th`u.a sˆo´ chung rˆo`i d`ung ph´ep dˆo’i biˆe´n y = x + 1 x 7) x2n − 1 (DS. (x2 − 1) n−1 k=1 (x2 − 2x cos kπ n + 1)) 8) x2n+1 − 1 (DS. (x − 1) n k=1 x2 − 2x cos 2kπ 2n + 1 + 1 ) 2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ Mˆo.t h`am sˆo´ x´ac di.nh du.´o.i da.ng thu.o.ng cu’a hai da th´u.c da.i sˆo´ ta.i nh˜u.ng diˆe’m m`a mˆa˜u sˆo´ khˆong triˆe.t tiˆeu go.i l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’. R(x) = P(x) Q(x) , Q(x) = 0. Nˆe´u degP < degQ th`ı R(x) go.i l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ thu. .c su. .. Nˆe´u degP degQ th`ı R(x) du.o. .c go.i l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ khˆong thu. .c su. .. Nˆe´u degP degQ th`ı b˘a`ng c´ach thu. .c hiˆe.n ph´ep chia P(x) cho Q(x) ta thu du.o. .c P(x) Q(x) = W(x) + P1(x) Q(x) (2.12) trong d´o W(x) l`a da th´u.c, c`on P1(x) Q(x) l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ thu. .c su. .. Vˆe` sau ta chı’ x´et c´ac phˆan th´u.c h˜u.u ty’ l`a thu.o.ng cu’a hai da th´u.c da.i sˆo´ v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c (phˆan th´u.c nhu. vˆa.y du.o. .c go.i l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ v´o.i hˆe. sˆo´ thu. .c). Phˆan th´u.c thu. .c do.n gia’n nhˆa´t (c`on go.i l`a phˆan th´u.c co. ba’n) l`a nh˜u.ng phˆan th´u.c du.o. .c biˆe’u diˆe˜n tˆo´i gia’n bo.’ i mˆo.t trong hai da.ng sau dˆay I. A (x − α)m ; II. Bx + C (x2 + px + q)m ; A, B, C, p, q ∈ R.
  • 57. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ T`u. di.nh l´y Gauss v`a c´ac hˆe. qua’ cu’a n´o ta c´o D- i.nh l´y. Mo. i phˆan th´u.c h˜u.u ty’ thu. .c su. . P(x) Q(x) hˆe. sˆo´ thu. .c v´o.i mˆa˜u sˆo´ c´o da.ng Q(x) = (x − α)r (x − β)s · · · (x2 + p1x + q1)m × × (x2 + p2x + q2) · · · (x2 + psx + qs)n (2.13) dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i da. ng tˆo’ng h˜u.u ha. n c´ac phˆan th´u.c co. ba’n da. ng I v`a II P(x) Q(x) = A (x − α)r + B (x − α)r−1 + · · · + C x − α + + D (x − β)s + E (x − β)s−1 + · · · + F x − β + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + Gx + H (x2 + p1x + q1)m + Ix + H (x2 + p1x + q1)m−1 + · · · + Lx + M x2 + p1x + q1 + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + Nx + P (x2 + psx + qs)n + Qx + R (x2 + psx + qs)n−1 + · · · + Sx + T x2 + psx + qs , (2.14) trong d´o A, B, . . . l`a nh˜u.ng h˘a`ng sˆo´ thu. .c. Nhu. vˆa.y c´ac phˆan th´u.c co. ba’n o.’ vˆe´ pha’i cu’a (2.14) s˘a´p xˆe´p theo t`u.ng nh´om tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac th`u.a sˆo´ o.’ vˆe´ pha’i cu’a (2.13), trong d´o sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a mˆo˜i nh´om b˘a`ng sˆo´ m˜u cu’a lu˜y th`u.a cu’a th`u.a sˆo´ tu.o.ng ´u.ng. Cˆa`n lu.u ´y r˘a`ng khi khai triˆe’n phˆan th´u.c cu. thˆe’ theo cˆong th´u.c (2.14) mˆo.t sˆo´ hˆe. sˆo´ c´o thˆe’ b˘a`ng 0 v`a do d´o sˆo´ sˆo´ ha.ng trong mˆo˜i nh´om c´o thˆe’ b´e ho.n sˆo´ m˜u cu’a th`u.a sˆo´ tu.o.ng ´u.ng. Trong thu. .c h`anh, dˆe’ t´ınh c´ac hˆe. sˆo´ A, B, . . . ta s˜e su.’ du.ng c´ac phu.o.ng ph´ap sau.
  • 58. h˜u.u ty’ 57 I. Gia’ su.’ da th´u.c Q(x) chı’ c´o c´ac nghiˆe.m thu. .c do.n, t´u.c l`a Q(x) = n j=1 (x − aj), ai = aj ∀ i = j. Khi d´o P(x) Q(x) = n j=1 Aj x − aj · (2.15) Dˆe’ x´ac di.nh Ak ta nhˆan hai vˆe´ cu’a (2.15) v´o.i x − ak v`a thu du.o. .c P(x) n j=1 j=k (x − aj) = Ak + A1 x − a1 + · · · + Ak−1 x − ak−1 + Ak+1 x − ak+1 + · · · + An x − an (x − ak). (2.16) Thay x = ak v`ao (2.16) ta c´o Ak = P(ak) n j=1 j=k (ak − aj) · (2.17) Nhu. vˆa.y dˆe’ t´ınh hˆe. sˆo´ Ak cu’a phˆan th´u.c Ak x − ak ta x´oa th`u.a sˆo´ (x − ak) kho’i mˆa˜u sˆo´ cu’a P(x) Q(x) v`a tiˆe´p theo l`a thay x = ak v`ao biˆe’u th´u.c c`on la.i. V`ı vˆa.y phu.o.ng ph´ap n`ay du.o. .c go.i l`a phu.o.ng ph´ap x´oa. II. Nˆe´u Q(x) c´o nghiˆe.m bˆo.i th`ı cˆong th´u.c (2.17) khˆong c`on su.’ du.ng du.o. .c. Gia’ su.’ Q(x) = gm , trong d´o ho˘a.c g = x − α ho˘a.c g l`a t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ l`a tam th´u.c bˆa.c hai v´o.i hai biˆe.t sˆo´ ˆam. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta cˆa`n khai triˆe’n P(x) theo c´ac lu˜y th`u.a cu’a g: P(x) = a0 + a1g + a2g2 + . . .
  • 59. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ trong d´o a0, a1, . . . l`a h˘a`ng sˆo´ nˆe´u g = x − α v`a l`a da th´u.c bˆa.c khˆong vu.o. .t qu´a 1 trong tru.`o.ng ho. .p th´u. hai (trong tru.`o.ng ho. .p n`ay ta cˆa`n thu. .c hiˆe.n theo quy t˘a´c ph´ep chia c´o du.). III. Dˆo´i v´o.i tru.`o.ng ho. .p tˆo’ng qu´at, ta nhˆan hai vˆe´ cu’a (2.14) v´o.i da th´u.c Q(z) v`a s˘a´p xˆe´p c´ac sˆo´ ha.ng o.’ vˆe´ pha’i d˘a’ng th´u.c thu du.o. .c th`anh da th´u.c v`a thu du.o. .c dˆo`ng nhˆa´t th´u.c gi˜u.a hai da th´u.c: mˆo.t da th´u.c l`a P(x), c`on da th´u.c kia l`a da th´u.c v´o.i hˆe. sˆo´ A, B, . . . chu.a du.o. .c x´ac di.nh. Cˆan b˘a`ng c´ac hˆe. sˆo´ cu’a c´ac lu˜y th`u.a c`ung bˆa.c ta thu du.o. .c hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh v´o.i ˆa’n l`a A, B, . . .. Gia’i hˆe. d´o, ta t`ım du.o. .c c´ac hˆe. sˆo´ A, B, . . . Phu.o.ng ph´ap n`ay go.i l`a phu.o.ng ph´ap hˆe. sˆo´ bˆa´t di.nh. Ta c´o thˆe’ x´ac di.nh hˆe. sˆo´ b˘a`ng c´ach kh´ac l`a cho biˆe´n x trong dˆo`ng nhˆa´t th´u.c nh˜u.ng tri. sˆo´ t`uy ´y (ch˘a’ng ha.n c´ac gi´a tri. d´o l`a nghiˆe.m thu. .c cu’a mˆa˜u sˆo´). C´AC V´I DU. V´ı du. 1. Khai triˆe’n c´ac phˆan th´u.c h˜u.u ty’ sau th`anh tˆo’ng c´ac phˆan th´u.c co. ba’n 1) 2x3 + 4x2 + x + 2 (x − 1)2(x2 + x + 1) , 2) x2 − 2x (x − 1)2(x2 + 1)2 · Gia’i. 1) V`ı tam th´u.c bˆa.c hai x2 +x+1 khˆong c´o nghiˆe.m thu. .c nˆen R1(x) = 2x3 + 4x2 + x + 2 (x − 1)2(x2 + x + 1) = B1 (x − 1) + B2 (x − 1)2 + Mx + N x2 + x + 1 · Quy dˆo`ng mˆa˜u sˆo´ ta c´o 2x3 + 4x2 + x + 2 (x − 1)2(x2 + x + 1) = B1(x3 − 1) + B2(x2 + x + 1) + (Mx + N)(x2 − 2x + 1) (x − 1)2(x2 + x + 1) ·
  • 60. h˜u.u ty’ 59 Cˆan b˘a`ng hˆe. sˆo´ cu’a x0 , x1 , x2 v`a x3 trong c´ac tu.’ sˆo´ ta thu du.o. .c hˆe. phu.o.ng tr`ınh x3 B1 + B2 + N = 2, x2 B2 + M − 2N = 1, x1 B2 + N − 2M = 4, x0 B1 + M = 2. Gia’i hˆe. phu.o.ng tr`ınh ta c´o B1 = 2, B2 = 3, M = 0, N = 1. T`u. d´o R1(x) = 2 x − 1 + 3 (x − 1)2 + 1 x2 + x + 1 · 2) Ta c´o R2 = x2 − 2x (x − 1)2(x2 + 1)2 = A1 x − 1 + A2 (x − 1)2 + M1x + N1 x2 + 1 + M2x + N2 (x2 + 1)2 · Quy dˆo`ng mˆa˜u sˆo´ v`a cˆan b˘a`ng c´ac tu.’ sˆo´ ta c´o x2 − 2x = A1(x − 1)(x2 + 1)2 + A2(x2 + 1)2 + (M1x + N1)(x − 1)2 (x2 + 1) + (M2x + N2)(x − 1)2 . So s´anh c´ac hˆe. sˆo´ cu’a c´ac lu˜y th`u.a c`ung bˆa.c o.’ hai vˆe´ ta thu du.o. .c x5 A1 + M1 = 0, x4 − A1 + A2 − 2M1 + N1 = 0, x3 2A1 + 2M1 − 2N1 + M2 = 0, x2 − 2A1 + 2A2 − 2M1 + 2N1 + 2N1 − 2M2 + N2 = 1, x1 A1 + M1 − 2N1 + M2 − 2N2 = −2, x0 − A1 + A2 + N1 + N2 = 0. T`u. d´o suy ra A1 = 1 2 , A2 = − 1 4 , M1 = − 1 2 , N1 = − 1 4 , M2 = − 1 2 , N2 = 1
  • 61. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ v`a do vˆa.y x2 − 2x (x − 1)2(x2 + 1)2 = 1 2 x − 1 + − 1 4 (x − 1)2 + − 1 2 x − 1 4 x2 + 1 + − 1 2 x + 1 (x2 + 1)2 · V´ı du. 2. C˜ung ho’i nhu. trˆen 1) R1(x) = x4 x4 + 5x2 + 1 ; 2) R2(x) = 1 x4 + 1 · Gia’i. 1) R1(x) l`a phˆan th´u.c h˜u.u ty’ khˆong thu. .c su. . nˆen dˆa`u tiˆen cˆa`n thu. .c hiˆe.n ph´ep chia: x4 x4 + 5x2 + 4 = 1 − 5x2 + 4 x4 + 5x2 + 4 = 1 + R3(x). Ch´u ´y r˘a`ng x4 + 5x2 + 4 = (x2 + 1)(x2 + 4), do d´o R3 = − 5x2 + 4 (x2 + 1)(x2 + 4) = M1x + N1 x2 + 1 + M2x + N2 x2 + 4 · Quy dˆo`ng mˆa˜u sˆo´ v`a so s´anh hai tu.’ sˆo´ ta thu du.o. .c −5x2 − 4 = (M1x + N1)(x2 + 4) + (M2x + N2)(x2 + 1) v`a tiˆe´p theo l`a cˆan b˘a`ng c´ac hˆe. sˆo´ cu’a c´ac lu˜y th`u.a c`ung bˆa.c cu’a x ta thu du.o. .c hˆe. phu.o.ng tr`ınh x3 M1 + M2 = 0, x2 N1 + N2 = −5, ⇒ M1 = M2 = 0, N1 = 1 3 , N2 = − 16 3 · x1 4M1 + N − 2 = 0, x0 4N1 + N − 2 = −4 Vˆa.y R1(x) = 1 + 1 3 · 1 x2 + 1 − 16 3 · 1 x2 + 4 ·
  • 62. h˜u.u ty’ 61 2) V`ı x4 + 1 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + √ 2x + 1)(x2 − √ 2x + 1) nˆen R2 = 1 x4 + 1 = M1x + N1 x2 + √ 2x + 1 + M2x + N2 x2 − √ 2x + 1 · T`u. dˆo`ng nhˆa´t th´u.c 1 ≡ (M1x + N1)(x2 − √ 2x + 1) + (M + 2x + N2)(x2 + √ 2x + 1), tiˆe´n h`anh tu.o.ng tu. . nhu. trˆen ta c´o M1 = −M2 = 1 2 √ 2 , N1 = N2 = 1 2 · Do d´o 1 x4 + 1 = 1 2 √ 2 x + √ 2 x2 + √ 2x + 1 − 1 2 √ 2 x − √ 2 x2 − √ 2x + 1 · V´ı du. 3. T`ım khai triˆe’n phˆan th´u.c 1) R1(x) = x + 1 (x − 1)(x − 2)x ; 2) R2(x) = x2 + 2x + 6 (x − 1)(x − 2)(x − 4) · Gia’i. 1) V`ı mˆa˜u sˆo´ chı’ c´o nghiˆe.m do.n 0, 1, 2 nˆen x + 1 x(x − 1)(x − 2) = A1 x + A2 x − 1 + A2 x − 2 · ´Ap du.ng cˆong th´u.c (2.17) ta du.o. .c A1 = x + 1 x=0 (x − 1)(x − 2) x=0 = 1 2 ; A2 = x + 1 x(x − 2) x=1 = −2, A3 = x + 1 x(x − 1) x=2 = 3 2 · Vˆa.y R1(x) = 1 2x + −2 x − 1 + 3 2(x − 2) ·
  • 63. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ 2) Tu.o.ng tu. . ta c´o R2(x) = x2 + 2x + 6 (x − 1)(x − 2)(x − 4) = A1 x − 1 + B x − 2 + C x − 3 V`ı mˆa˜u sˆo´ cu’a R2(x) chı’ c´o nghiˆe.m do.n nˆen A = x2 + 2x + 6 (x − 2)(x − 4) x=1 = 3, B = x2 + 2x + 6 (x − 1)(x − 4) x=2 = −7, C = x2 + 2x + 6 (x − 1)(x − 2) x=4 = 5. Do d´o R2(x) = 3 x − 1 − 7 x − 2 + 5 x − 4 · Nhˆa. n x´et. Trong mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng ho. .p d˘a.c biˆe.t, viˆe.c khai triˆe’n phˆan th´u.c h˜u.u ty’ c´o thˆe’ thu du.o. .c do.n gia’n ho.n v`a nhanh ho.n. Ch˘a’ng ha.n, dˆe’ khai triˆe’n phˆan th´u.c 1 x2(1 + x2)2 th`anh tˆo’ng c´ac phˆan th´u.c co. ba’n ta c´o thˆe’ thu. .c hiˆe.n nhu. sau: 1 x2(x2 + 1)2 = (1 + x2 ) − x2 x2(x2 + 1)2 = 1 x2(x2 + 1) − 1 (x2 + 1)2 = (1 + x2 ) − x2 x2(x2 + 1) − 1 (x2 + 1)2 = 1 x2 − 1 x2 + 1 − 1 (x2 + 1)2 · V´ı du. 4. Khai triˆe’n c´ac phˆan th´u.c h˜u.u ty’ sau: 1) x4 + 5x3 + 5x2 − 3x + 1 (x + 2)5 ; 2) x5 + 3x4 + x3 − 2x2 + 2x + 3 (x2 + x + 1)3 · Gia’i. 1) D˘a.t g = (x + 2). Khi d´o b˘a`ng c´ach khai triˆe’n tu.’ sˆo´ theo c´ac lu˜y th`u.a cu’a x+2 b˘a`ng c´ach ´ap du.ng cˆong th´u.c nhi. th´u.c Newton
  • 64. h˜u.u ty’ 63 ta thu du.o. .c x4 + 5x3 + 5x2 − 3x + 1 (x + 2)5 = = [(x + 2) − 2]4 + 5[(x + 2) − 2]3 + 5[(x + 2) − 2]2 − 3[(x + 2) − 2)] + 1 (x + 2)5 = 3 + 5g − g2 − 3g3 + g4 g5 = 3 g5 + 5 g4 − 1 g3 − 3 g2 + 1 g = 3 (x + 2)5 + 5 (x + 2)4 − 1 (x + 2)3 − 3 (x + 2)3 + 1 x + 2 · 2) D˘a.t g = x2 + x + 1. D´o l`a tam th´u.c bˆa.c hai khˆong c´o nghiˆe.m thu. .c. ´Ap du.ng thuˆa.t to´an chia c´o du. ta c´o P(x) = x5 + 3x4 + x3 − 2x2 + 2x + 3 = (x2 + x + 1)(x3 + 2x2 − 2x − 2) + 6x + 5 t´u.c l`a P = g · q1 + r1, q1 = x3 + 2x2 − 2x − 2, r1 = 6x + 5. Ta la.i chia q1 cho g v`a thu du.o. .c q1 = gq2 + r2, degq2 < deg(g) q2 = x + 1, r2 = −4x − 3. Nhu. vˆa.y P = gq1 + r1 = r1 + g(r2 + gq2) = r1 + r2g + q2g2 . T`u. d´o suy ra P g3 = r1 g3 + r2 g3 + q2 · 1 g = 6x + 5 (x2 + x + 1)3 − 4x + 3 (x2 + x + 1)2 + x + 1 x2 + x + 1 ·
  • 65. D- a th´u.c v`a h`am h˜u.u ty’ B`AI TˆA. P Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay, h˜ay khai triˆe’n phˆan th´u.c h˜u.u ty’ d˜a cho th`anh tˆo’ng h˜u.u ha.n c´ac phˆan th´u.c co. ba’n thu. .c. 1. 2x − 3 x(x2 − 1)(x2 − 4) (DS. − 3 4x + 1 6(x − 1) + 5 6(x + 1) + 1 24(x − 2) − 7 24(x + 2) ) 2. x + 1 x3 − 1 (DS. 2 3(x − 1) − 2x + 1 3(x2 + x + 1) ) 3. 1 x3(x − 1)4 (DS. 10 x + 4 x2 + 1 x3 − 10 x − 1 + 6 (x − 1)2 − 3 (x − 1)3 + 1 (x − 1)4 ) 4. 1 (x4 − 1)2 (DS. − 3 16(x − 1) + 1 16(x − 1)2 + 3 16(x + 1) + 1 16(x + 1)2 + 1 4(x2 + 1) + 1 4(x2 + 1)2 ) 5. 2x − 1 (x + 1)3(x2 + x + 1) (DS. 2 x + 1 − 1 (x + 1)2 − 3 (x + 1)3 − 2x − 1 x2 + x + 1 ) 6. 1 x(x2 + 1)3 (DS. 1 x + x (x2 + 1)3 − x (x2 + 1)2 − x x2 + 1 ) 7. x2 + 3x + 1 x4(x2 + 1) (DS. 1 x4 + 3 x3 − 3 x + 3x x2 + 1 ) 8. x5 + 3x3 − x2 + 4x − 2 (x2 + 1)3 (DS. 2x − 1 (x2 + 1)3 + x − 1 (x2 + 1)2 + x x2 + 1 ) 9. x5 + 2x3 − 6x2 − 3x − 9 (x2 + x + 2)3 (DS. 1 (x2 + x + 2)3 + x − 1 (x2 + x + 2)2 + x − 2 x2 + x + 2 ) 10. 2x − 1 x(x + 1)2(x2 + x + 1)2
  • 66. h˜u.u ty’ 65 (DS. − 1 x + 7 x + 1 + 3 (x + 1)2 − 6x + 2 x2 + x + 1 − 3x + 2 (x2 + x + 1)2 ) 11. x2 (x2 + 1)(x2 + x + 1)2 (DS. 1 x2 + 1 + 1 x2 + x + 1 − x (x2 + x + 1)2 ) 12. 1 x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 (DS. 1 3(x − 1) − 1 6 2x + 1 x2 + x + 1 − 1 2(x2 − x + 1) )
  • 67. D- i.nh th´u.c 3.1 Ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n . . 69 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n . . . . . . . . . . . 71 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n . . . . . . . . . . . 72 3.2 D- i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Nghi.ch thˆe´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.2 D- i.nh th´u.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´u.c . . . . . . . . . . . 88 3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´u.c . . . . . . . . 89 3.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n . . . . 109 3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . . . . . . . . . . . . 118 3.4.1 D- i.nh ngh˜ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
  • 68. 67 3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o . . . 119 3.1 Ma trˆa.n Gia’ su.’ P l`a tru.`o.ng sˆo´ n`ao d´o (P = R, C). 3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n Ta x´et ba’ng h`ınh ch˜u. nhˆa.t lˆa.p nˆen t`u. m × n sˆo´ cu’a P: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn Ba’ng sˆo´ n`ay du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n (hay ch´ınh x´ac ho.n: ma trˆa.n sˆo´) k´ıch thu.´o.c m × n. C´ac sˆo´ aij, i = 1, m, j = 1, n du.o. .c go.i l`a phˆa`n tu.’ cu’a ma trˆa.n, trong d´o i chı’ sˆo´ hiˆe.u h`ang, j chı’ sˆo´ hiˆe.u cˆo.t cu’a ma trˆa.n. K´y hiˆe.u: c´o thˆe’ d`ung mˆo.t trong c´ac k´y hiˆe.u A =       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn       , hay       a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn       hay a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ... am1 am2 . . . amn
  • 69. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c hay ng˘a´n go.n ho.n A = aij m×n = aij m×n = aij m×n . Tˆa.p ho. .p mo.i (m × n)-ma trˆa.n du.o. .c k´y hiˆe.u l`a M(m × n). Nˆe´u m = n th`ı ma trˆa.n A = aij m×n du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n (thu.`o.ng k´y hiˆe.u: A = aij n×n = aij n 1 ). Dˆo´i v´o.i ma trˆa.n vuˆong A = aij n 1 c´ac phˆa`n tu.’ aii, i = 1, n du.o. .c go.i l`a nh˜u.ng phˆa`n tu.’ du.`o.ng ch´eo. C´ac phˆa`n tu.’ n`ay lˆa.p th`anh du.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a ma trˆa.n vuˆong. Ma trˆa.n vuˆong m`a mo.i phˆa`n tu.’ khˆong n˘a`m trˆen du.`o.ng ch´eo ch´ınh dˆe`u b˘a`ng 0 (t´u.c l`a aij = 0 ∀ i = j) go.i l`a ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo: A =          d1 d2 ... ... dn          = diag[d1 d2 . . . dn]. Nˆe´u trong ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo A mo.i phˆa`n tu.’ d1 = d2 = · · · = dn = 1 th`ı ma trˆa.n d´o du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n do.n vi. cˆa´p n v`a k´y hiˆe.u: En = E =          1 1 ... ... 1          . Nhu. vˆa.y En = δij n 1 , trong d´o δij =    0 nˆe´u i = j 1 nˆe´u i = j.
  • 70. 69 Sau c`ung, (m × n)-ma trˆa.n da.ng Om×n =       0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . 0       go.i l`a ma trˆa.n - khˆong k´ıch thu.´o.c m × n. Nˆe´u m = n th`ı k´y hiˆe.u On hay On 1 . Nhˆa. n x´et. 1) Ta nhˆa´n ma.nh: ma trˆa.n A = aij m×n khˆong pha’i l`a mˆo.t sˆo´, n´o l`a mˆo.t Ba’ng c´ac sˆo´. 2) Ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n) go.i l`a ma trˆa.n h`ang a1, a2, . . . , an c`on ma trˆa.n (m × 1) go.i l`a ma trˆa.n cˆo.t       a1 a2 ... am       3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n Gia’ su.’ mo.i ma trˆa.n du.o. .c x´et l`a trˆen c`ung mˆo.t tru.`o.ng P (= R, C). C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p c´ac ma trˆa.n l`a ph´ep cˆo.ng c´ac ma trˆa.n (chı’ dˆo´i v´o.i c´ac ma trˆa. n c`ung k´ıch thu.´o.c!) v`a ph´ep nhˆan ma trˆa.n v´o.i mˆo.t sˆo´ v`a ch´ung du.o. .c di.nh ngh˜ıa nh`o. c´ac ph´ep to´an trˆen c´ac phˆa`n tu.’ cu’a ch´ung. 1. Cho A = aij m×n , B = bij m×n . Ma trˆa.n C = cij m×n du.o. .c go.i l`a tˆo’ng cu’a A v`a B nˆe´u cij = aij + bij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n
  • 71. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c v`a k´y hiˆe.u C = A + B [cij] = [aij + bij], i = 1, m, j = 1, n . 2. Gia’ su.’ A = aij m×n v`a λ ∈ P. Ma trˆa.n C = cij m×n du.o. .c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i sˆo´ λ nˆe´u cij = λaij ∀ i = 1, m, ∀ j = 1, n v`a k´y hiˆe.u C = λA λA = λaij m×n ). Tru.`o.ng ho. .p d˘a.c biˆe.t khi λ = −1 ta viˆe´t (−1)A = −A v`a go.i −A l`a ma trˆa.n dˆo´i cu’a ma trˆa.n A. C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen tˆa.p ho. .p ma trˆa.n M(m × n) c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay. Gia’ su.’ A, B, C ∈ M(m × n) v`a α, β ∈ P. Khi d´o I. A + B = B + A (luˆa.t giao ho´an). II. A + (B + C) = (A + B) + C (luˆa.t kˆe´t ho. .p). III. A + Om×n = A. IV. A + (−A) = Om×n. V. 1 · A = A. VI. α(βA) = (αβ)A - luˆa.t kˆe´t ho. .p dˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan c´ac sˆo´. VII. α(A + B) = αA + αB - luˆa.t phˆan bˆo´ cu’a ph´ep nhˆan v´o.i mˆo.t sˆo´ dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n. VIII. (α + β)A = αA + βA - luˆa.t phˆan bˆo´ cu’a ph´ep nhˆan v´o.i ma trˆa.n dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng c´ac sˆo´. Hiˆe.u c´ac ma trˆa.n A − B c´o thˆe’ di.nh ngh˜ıa nhu. sau A − B def = A + (−B).
  • 72. 71 3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n Ma trˆa.n A du.o. .c go.i l`a tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n B nˆe´u sˆo´ cˆo.t cu’a ma trˆa.n A b˘a`ng sˆo´ h`ang cu’a ma trˆa.n B (t`u. su. . tu.o.ng th´ıch cu’a A v´o.i B n´oi chung khˆong suy ra du.o. .c r˘a`ng ma trˆa.n B tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n A). Cho ma trˆa.n A = aij m×n v`a B = bij n×p . Ma trˆa.n C = cij m×p du.o. .c go.i l`a t´ıch cu’a ma trˆa.n A v´o.i ma trˆa.n B nˆe´u cij = n s=1 aisbsj. (3.1) K´y hiˆe.u C = AB v`a n´oi r˘a`ng “nhˆan bˆen pha’i ma trˆa.n A v´o.i ma trˆa.n B” hay “nhˆan bˆen tr´ai ma trˆa.n B v´o.i ma trˆa.n A”. T`u. (3.1) suy ra quy t˘a´c t`ım c´ac sˆo´ ha.ng cu’a t´ıch c´ac ma trˆa.n: phˆa`n tu.’ cij d´u.ng o.’ vi. tr´ı giao cu’a h`ang th´u. i v`a cˆo.t th´u. j cu’a ma trˆa.n C = AB b˘a`ng tˆo’ng c´ac t´ıch cu’a c´ac phˆa`n tu.’ h`ang th´u. i cu’a ma trˆa.n A nhˆan v´o.i c´ac phˆa`n tu.’ tu.o.ng ´u.ng cu’a cˆo.t th´u. j cu’a ma trˆa.n B.         a11 a12 . . . a1n . . . . . . . . . . . . ai1 ai2 . . . ain . . . . . . . . . . . . am1 am2 . . . amn         ×     b11 ... bn1     bij ... bij     b1p ... bnp     =     c11 ... c1p . . . cij . . . cm1 ... cmp     Ch´u ´y. 1) N´oi chung ph´ep nhˆan ma trˆa.n khˆong c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an. 2) T´ıch hai ma trˆa.n kh´ac 0 c´o thˆe’ b˘a`ng ma trˆa.n khˆong. 3) V´o.i diˆe`u kiˆe.n c´ac ph´ep to´an du.o. .c viˆe´t ra c´o ngh˜ıa, ph´ep nhˆan ma trˆa.n c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau I. (AB)C = A(BC) - luˆa.t kˆe´t ho. .p. II. α(AB) = (αA)B = A(αB), α ∈ P. III. (A + B)C = AC + BC (luˆa.t phˆan bˆo´ ph´ep nhˆan bˆen pha’i
  • 73. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n). IV. C(A + B) = CA + CB (luˆa.t phˆan bˆo´ ph´ep nhˆan bˆen tr´ai dˆo´i v´o.i ph´ep cˆo.ng ma trˆa.n). 3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n Ph´ep to´an trˆen c´ac ma trˆa.n m`a trong d´o c´ac h`ang chuyˆe’n th`anh c´ac cˆo.t c`on c´ac cˆo.t chuyˆe’n th`anh c´ac h`ang du.o. .c go.i l`a ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n. Cho ma trˆa.n A = aij m×n . Ma trˆa.n thu du.o. .c t`u. ma trˆa.n A b˘a`ng ph´ep chuyˆe’n vi. ma trˆa.n du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n chuyˆe’n vi. dˆo´i v´o.i ma trˆa.n A v`a du.o. .c k´y hiˆe.u l`a AT . Nhu. vˆa.y: AT l`a (n × m)-ma trˆa.n. Ma trˆa.n vuˆong du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n dˆo´i x´u.ng nˆe´u AT = A v`a du.o. .c go.i l`a ma trˆa. n pha’n x´u.ng nˆe´u AT = −A. Nhu. vˆa.y nˆe´u A = aij n 1 l`a ma trˆa.n dˆo´i x´u.ng th`ı aij = aji ∀ i, j = 1, n v`a nˆe´u A pha’n x´u.ng th`ı aij = −aji. Do d´o c´ac phˆa`n tu.’ trˆen du.`o.ng ch´eo ch´ınh cu’a ma trˆa.n pha’n x´u.ng l`a b˘a`ng 0. C´AC V´I DU. V´ı du. 1. 1) Cˆo.ng c´ac ma trˆa.n 1 2 3 4 v`a 5 6 7 8 . 2) Nhˆan ma trˆa.n A = −1 2 −1 4 0 1 v´o.i sˆo´ λ = 3. Gia’i. 1) Hai ma trˆa.n d˜a cho c´o c`ung k´ıch thu.´o.c nˆen c´o thˆe’ cˆo.ng v´o.i nhau. Theo di.nh ngh˜ıa ph´ep cˆo.ng c´ac ma trˆa.n ta c´o 1 2 3 4 + 5 6 7 8 = 1 + 5 2 + 6 3 + 7 4 + 8 = 6 8 10 12 . 2) λA = 3 · −1 2 −1 4 0 1 = −1 · 3 2 · 3 −1 · 3 4 · 3 0 · 3 1 · 3 =
  • 74. 73 −3 6 −3 12 0 3 . V´ı du. 2. Trong tru.`o.ng ho. .p n`ao th`ı: 1) c´o thˆe’ nhˆan bˆen pha’i mˆo.t ma trˆa.n h`ang v´o.i mˆo.t ma trˆa.n cˆo.t ? 2) c´o thˆe’ nhˆan bˆen pha’i mˆo.t ma trˆa.n cˆo.t v´o.i mˆo.t ma trˆa.n h`ang ? Gia’i. 1) Ma trˆa.n h`ang l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n) c`on ma trˆa.n cˆo.t l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (m × 1). Ph´ep nhˆan ma trˆa.n h`ang (1 × n) v´o.i ma trˆa.n cˆo.t (m × 1) chı’ c´o thˆe’ nˆe´u n = m: 1 × n · n × 1 = 1 × 1 t´u.c l`a kˆe´t qua’ ph´ep nhˆan l`a mˆo.t sˆo´, cu. thˆe’ l`a a1 a2 . . . an       b1 b2 ... bn       = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn = c. 2) Ma trˆa.n cˆo.t A A =       a1 a2 ... am       l`a ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (m × 1). Ma trˆa.n n`ay tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n k´ıch thu.´o.c (1 × n), t´u.c l`a ma trˆa.n h`ang. Nhu. vˆa.y ph´ep nhˆan d˜a nˆeu luˆon luˆon thu. .c hiˆe.n du.o. .c, cu. thˆe’ l`a       a1 a2 ... am       b1 b2 . . . bn =       a1b1 a1b2 . . . a1bn a2b1 a2b2 . . . a2bn ... ... ... ... amb1 amb2 . . . ambn       .
  • 75. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c V´ı du. 3. T´ınh AB v`a BA nˆe´u 1) A = 3 2 1 0 1 2 , B =    1 3 3   . 2) A = 1 4 −1 2 0 1 , B =    −1 0 1 3 −1 1   . Gia’i. 1) Theo quy t˘a´c nhˆan c´ac ma trˆa.n ta c´o AB = 3 2 1 0 1 2    1 3 3    = 3 · 1 + 2 · 3 + 1 · 3 0 · 1 + 1 · 3 + 2 · 3 = 12 9 . T´ıch BA khˆong tˆo`n ta.i v`ı ma trˆa.n B khˆong tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n A. 2) Ta c´o ma trˆa.n A tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n B. Do d´o AB = 1 4 −1 2 0 1    −2 0 1 3 −1 1    = 1 · (−2) + 4 · 1 + (−1)(−1) 1 · 0 + 4 · 3 + (−1) · 1 2 · (−2) + 0 · 1 + (1) · (−1) 2 · 0 + 0 · 3 + 1 · 1 = 3 11 −5 1 . Tu.o.ng tu. ., ma trˆa.n B tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n A v`a BA =    −2 −8 2 7 4 2 1 −4 2    . V´ı du. 4. 1) Cho ma trˆa.n A = 0 1 0 0 . T`ım mo.i ma trˆa.n X giao ho´an v´o.i A (AX = XA).
  • 76. 75 2) T`ım mo.i ma trˆa.n giao ho´an v´o.i ma trˆa.n A = 1 2 −1 −1 . 3) T´ınh t´ıch 1 1 0 0 1 1 −1 −1 . Gia’i. 1) V`ı A l`a ma trˆa.n cˆa´p 2 nˆen dˆe’ c´ac t´ıch AX v`a XA x´ac di.nh, ma trˆa.n X c˜ung pha’i l`a ma trˆa.n cˆa´p 2. Gia’ su.’ A = α β γ δ . Khi d´o AX = 0 1 0 0 α β γ δ = γ δ 0 0 , XA = α β γ δ 0 1 0 0 = 0 α 0 γ . T`u. d´o nˆe´u AX = XA ⇒ γ = 0, α = δ. Do d´o mo.i ma trˆa.n ho´an vi. v´o.i ma trˆa.n d˜a cho dˆe`u c´o da.ng X = α β 0 α . 2) Tu.o.ng tu. . nhu. trˆen, gia’ su.’ X = x y u v l`a ma trˆa.n giao ho´an
  • 77. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c v´o.i ma trˆa.n A = 1 2 −1 −1 . Khi d´o 1 2 −1 −1 x y u v = x y u v 1 2 −1 −1 ⇒ x + 2u y + 2v −x − u −y − v = x − y 2x − y u − v 2u − v ⇒    x + 2u = x − y −x − u = u − v y + 2v = 2x − y −y − v = 2u − v ⇒    x = u − 2v y = −2u ; u, v t`uy ´y. Vˆa.y ta thu du.o. .c X = u − 2v −2u u v , u, v t`uy ´y. 3) Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng 1 1 0 0 1 1 −1 −1 = 0 0 0 0 . T`u. v´ı du. n`ay suy ra r˘a`ng dˆo´i v´o.i c´ac ma trˆa.n nˆe´u AB = O th`ı khˆong nhˆa´t thiˆe´t A = O ho˘a.c B = O. V´ı du. 5. Ma trˆa.n S = λEn, trong d´o En l`a ma trˆa.n do.n vi. cˆa´p n v`a λ l`a mˆo.t sˆo´ du.o. .c go.i l`a ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng. Ch´u.ng to’ r˘a`ng ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng ho´an vi. v´o.i mo.i ma trˆa.n vuˆong c`ung cˆa´p. Gia’i. ´Ap du.ng c´ac t´ınh chˆa´t cu’a ma trˆa.n do.n vi. ta c´o SA = (λEn)A = λ(EnA) = λA; AS = A(λEn) = λ(AEn) = λA, t´u.c l`a AS = SA dˆo´i v´o.i mo.i ma trˆa.n vuˆong A cˆa´p n. Cho A l`a ma trˆa.n vuˆong, k l`a sˆo´ tu. . nhiˆen l´o.n ho.n 1. Khi d´o t´ıch k ma trˆa.n A du.o. .c go.i l`a lu˜y th`u.a bˆa.c k cu’a A v`a k´y hiˆe.u Ak . Theo
  • 78. 77 di.nh ngh˜ıa A0 = E. Nhu. vˆa.y Ak def = A × A × A × · · · × A k lˆa`n A◦ = E. V´ı du. 6. T`ım mo.i lu˜y th`u.a cu’a ma trˆa.n A =      0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      . Gia’i. Ta c´o A2 =      0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0      , v`a dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng A3 = A2 A =      0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      , A4 =      0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0           0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0      =      0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      . C´ac l˜uy th`u.a tiˆe´p theo cu’a ma trˆa.n A dˆe`u b˘a`ng 0. V´ı du. 7. Gia’ su.’ J = 0 1 −1 0 , E = E2×2.
  • 79. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c Ch´u.ng minh r˘a`ng 1) J2 = −E. 2) Ma trˆa.n da.ng Z = αE + βJ = α β −β α du.o. .c cˆo.ng v`a nhˆan v´o.i nhau tu.o.ng tu. . nhu. c´ac sˆo´ ph´u.c da.ng Z = α + βi. Gia’i. 1) Ta c´o J2 = 0 1 −1 0 0 1 −1 0 = −1 0 0 −1 = −E. 2) X´et Z1 = α1E + β1J, Z2 = α2E + β2J. Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa c´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n c`ung c´ac t´ınh chˆa´t cu’a ch´ung, mˆo.t m˘a.t ta c´o Z1 + Z2 = (α1 + α2)E + (β1 + β2)J v`a m˘a.t kh´ac Z1 + Z2 = α1 β1 −β1 α1 + α2 β2 −β2 α2 = α1 + α2 β1 + β2 −(β1 + β2) α1 + α2 = (α1 + α2)E + (β1 + β2)J. Dˆo´i v´o.i ph´ep nhˆan su. . l´y gia’i c˜ung tu.o.ng tu. .. V´ı du. 8. T´ınh An nˆe´u: 1) A = 3 1 0 3 ; 2) A = 4 1 0 3 . Gia’i. Du. .a v`ao t´ınh chˆa´t cu’a ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng: ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng ho´an vi. v´o.i mo.i ma trˆa.n c`ung cˆa´p, ta s˜e biˆe’u diˆe˜n ma trˆa.n d˜a cho th`anh
  • 80. 79 tˆo’ng ma trˆa.n vˆo hu.´o.ng cˆo.ng v´o.i ma trˆa.n da.ng d˘a.c biˆe.t m`a ph´ep nˆang lˆen l˜uy th`u.a du.o. .c thu. .c hiˆe.n do.n gia’n ho.n. 1) A = 3 1 0 3 = 3 0 0 3 + 0 1 0 0 = B + ˜B, Bm = 3 0 0 3 m = 3m 0 0 3n (xem b`ai 4. 3) du.´o.i dˆay), ˜Bm = 0 0 0 0 ∀ m 2. Tiˆe´p theo do B ˜B = ˜BB nˆen ta c´o thˆe’ ´ap du.ng cˆong th´u.c (B + ˜B)n = n i=0 Ci nBi ˜Bn−i (3.2) (xem b`ai 5.3) du.´o.i dˆay). Theo (3.2) ta c´o (B + ˜B)n = Bn + C1 nBn−1 ˜B + C2 nBn−2 ˜B2 + · · · + ˜Bn = |do ˜Bm = 0, m 2| = Bn + Cn 1 Bn−1 ˜B = Bn + nBn−1 ˜B = 3n 0 0 3n = n3n−1 0 0 n3n−1 0 1 0 0 = 3n 0 0 3n + 0 n3n−1 0 0 = 3n n3n−1 0 3n . 2) Tu.o.ng tu. . nhu. trˆen ta c´o A = 4 1 0 3 = 3 0 0 3 + 1 1 0 0 = B + ˜B. Bm = 3 0 0 3 m = 3m 0 0 3m , (3.3) ˜Bm = 1 1 0 0 m = 1 1 0 0 ∀ m 1 (3.4)
  • 81. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c Tiˆe´p theo do B ˜B = ˜BB nˆen ta c´o thˆe’ ´ap du.ng cˆong th´u.c An = (B + ˜B)n = Bn + C1 nBn−1 ˜B + C2 nBn−2 ˜B2 + · · · + ˜Bn . (3.5) Ta t´ınh Ck nBn−k ˜Bk . Theo (3.3) v`a (3.4) ta c´o Ck n 3n−k 0 0 3n−k 1 1 0 0 = Ck n 3n−k 3n−k 0 0 = Ck n3n−k Ck n3n−k 0 0 . (3.6) T`u. (3.6), (3.3) v`a (3.5) ta thu du.o. .c An = 3n 0 0 3n + n k=1 Ck n3n−k Ck n3n−k 0 0 =   3n + n k=1 Ck n3n−k 0 + n k=1 Ck n3n−k 0 3n   . V`ı 3n + n k=1 Ck n3n−k = (3 + 1)n = 4n v`a 0 + n k=1 Ck n3n−k = n k=0 Ck n3n−k − 3n = 4n − 3n , do vˆa.y An = 4n 4n − 3n 0 3n . B`AI TˆA. P 1. T´ınh A + B, AB v`a BA nˆe´u 1) A = 1 2 3 4 , B = 4 −4 0 i ; 2) A =    1 −1 0 2 1 1 3 −1 2   , B =    −2 1 2 0 4 5 2 −3 7   .
  • 82. 81 (DS. 1) A + B = 5 −2 3 4 + i , AB = 4 −4 + 2i 12 −12 + 4i , BA = −8 −8 3 4i ; 2) A + B =    −1 0 2 2 5 6 5 −4 9   , AB =    −1 −3 −3 −2 3 16 −2 −7 15   , BA =    6 1 5 23 −1 14 −17 −12 11   ) 2. T´ınh t´ıch c´ac ma trˆa.n 1)    5 2 1 5 2 3 6 5 2       1 3 −2 −3 −4 −5 2 1 3   . (DS.    1 3 2 5 10 9 −5 0 −7   ) 2)    3 4 9 2 −1 6 5 3 5       5 6 4 8 9 7 −4 −5 −3   . (DS.    11 9 13 −22 −27 −17 29 32 26   ) 3)      1 2 −2 1 3 −1 1 −2 5 1 3 −2         1 −2 4 2 3 2 3 1 4   . (DS.      −1 2 0 4 6 6 12 −3 20 1 5 2      ) 4)      2 1 3 4 2 1 −2 1 −3 1 2 1         1 2 −1   . (DS.      1 7 3 9      )
  • 83. Ma trˆa.n. D- i.nh th´u.c 5) 1 −3 3 −1 1 3 −5 1      1 1 1 2 1 1 1 −2      . (DS. 0 0 0 0 ) 6)    1 2 3    3 2 1 . (DS.    3 2 1 6 4 2 9 6 3   ) 3. T´ınh c´ac t´ıch AB v`a BA nˆe´u 1) A =      −1 3 0 −2 1 1 3 0 −2 4 1 2      , B = 5 −1 3 1 2 0 −1 4 . (DS. T´ıch AB khˆong tˆo`n ta.i v`ı ma trˆa.n A khˆong tu.o.ng th´ıch v´o.i ma trˆa.n B; BA = 10 15 −5 11 10 10 ) 2) A =      2 0 1 −4 3 1 0 −1      , B = 5 1 0 −3 . (DS. T´ıch AB khˆong tˆo`n ta.i v`ı A khˆong tu.o.ng th´ıch v´o.i B; BA = 11 −1 ) 3) A = 1 2 3 4 2 1 −2 3 , B =      1 5 3 6 8 2 1 2 −1 3 0 1      . (DS. AB = 28 27 8 15 14 13 , t´ıch BA khˆong tˆo`n ta.i) 4) A = cos α − sin α cos α cos α , B = cos β − sin β sin β cos β .

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập

Bài Viết Liên Quan

Hãy trao cho a top thịnh hành ở hàn năm 2024
Hãy trao cho a top thịnh hành ở hàn năm 2024

mẹo hay Top List Top
Khắc phục lỗi trang web bị khoa don gian năm 2024
Khắc phục lỗi trang web bị khoa don gian năm 2024

mẹo hay
Các doanh nghiệp nào bắt buộc phải kiểm toán năm 2024
Các doanh nghiệp nào bắt buộc phải kiểm toán năm 2024

mẹo hay
Có cách nào đổi vị trí ngự hồn onmyoji không năm 2024
Có cách nào đổi vị trí ngự hồn onmyoji không năm 2024

mẹo hay Mẹo Hay Cách
Cách tính trung bình thời gian trong excel năm 2024
Cách tính trung bình thời gian trong excel năm 2024

mẹo hay Mẹo Hay Cách
Top nu dien vien an do xinh dep năm 2024
Top nu dien vien an do xinh dep năm 2024

mẹo hay Top List Top
Máy tính casio fx-580vn plus bị lỗi năm 2024
Máy tính casio fx-580vn plus bị lỗi năm 2024

mẹo hay Công Nghệ Máy tính Máy
Nhịp tim trung bình ở người trưởng thành là năm 2024
Nhịp tim trung bình ở người trưởng thành là năm 2024

mẹo hay
Giải bài tập toán trang 70 lớp 4 năm 2024
Giải bài tập toán trang 70 lớp 4 năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập
Tuổi đinh mão mua nhà hợp hướng nào năm 2024
Tuổi đinh mão mua nhà hợp hướng nào năm 2024

mẹo hay Xây Đựng Nhà
Bài tập 25 sgk toán 8 trang 72 hkii năm 2024
Bài tập 25 sgk toán 8 trang 72 hkii năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập
Bài tập về lập kế hoạch mua sắm vật tư năm 2024
Bài tập về lập kế hoạch mua sắm vật tư năm 2024

mẹo hay Khỏe Đẹp Bài tập Mua Sắm Mua sắm
Hba1c test được xác định bằng các phương pháp nào năm 2024
Hba1c test được xác định bằng các phương pháp nào năm 2024

mẹo hay Học Tốt Phương pháp
Di tích lịch sử văn hóa của cà mau năm 2024
Di tích lịch sử văn hóa của cà mau năm 2024

mẹo hay
Ngữ văn 8 hành động nói tiếp theo năm 2024
Ngữ văn 8 hành động nói tiếp theo năm 2024

mẹo hay
Cách xuất hóa đơn kèm bảng kê của vietel năm 2024
Cách xuất hóa đơn kèm bảng kê của vietel năm 2024

mẹo hay Mẹo Hay Cách
Bán đất kiệt hoàng văn thụ đà nẵng năm 2024
Bán đất kiệt hoàng văn thụ đà nẵng năm 2024

mẹo hay
Bhxh nguyễn văn thân trường tiểu học thạnh an 2 năm 2024
Bhxh nguyễn văn thân trường tiểu học thạnh an 2 năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Trường tiểu học văn yên hà đông hà nội năm 2024
Trường tiểu học văn yên hà đông hà nội năm 2024

mẹo hay Học Tốt Học
Toán nâng cao về tỉ số phần trăm năm 2024
Toán nâng cao về tỉ số phần trăm năm 2024

mẹo hay

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Lỗi truy xuất thông tin từ máy chủ google play năm 2024
1 ngày trước . bởi DelinquentFriendliness
De học sinh giỏi tỉnh môn hóa năm 2023 2023 năm 2024
1 ngày trước . bởi PhoneticSnail
Bài giảng y học cổ truyền tập 2 pdf năm 2024
1 ngày trước . bởi AbsorbedEditor
Cách sử dụng mã qr để thanh toán sacombank năm 2024
1 ngày trước . bởi MythicalBomber
Bài 3 sbt trang 36 toán 7 tập hai năm 2024
1 ngày trước . bởi FallowArrears
Công an tp phan thiết cấp cmnd vào ngày nào năm 2024
1 ngày trước . bởi Day-careTerrier
Cách làm hóa đơn xuất bán hàng trên e năm 2024
1 ngày trước . bởi PoignantProtein
Có bao nhiêu chuẩn mực kế toán quốc tế năm 2024
1 ngày trước . bởi PertinentCoverage
Baáo cáo tới facebook lỗi không thấy hoá đơn năm 2024
1 ngày trước . bởi ColonialOasis
Giá nhân công xây dựng tại thanh hóa năm 2024
1 ngày trước . bởi ColouredDialect

Toplist được quan tâm

#1
Top 6 bản thân em phải làm gì để phòng chống hiv/aids 2023
7 tháng trước
#2
Top 7 số 20 gồm 2 và 0 đúng hay sai 2023
7 tháng trước
#3
Top 7 địa lý lớp 6 bài 19: lớp đất và các nhân tố hình thành đất một số nhóm đất điển hình trang 178 2023
7 tháng trước
#4
Top 7 h thực hiện chủ trương đường lối chính sách của đảng pháp luật của nhà nước 2023
7 tháng trước
#5
Top 6 on tập tiếng việt lớp 7 học kĩ 2 violet 2023
7 tháng trước
#6
Top 7 trung du và miền núi bắc bộ có thế mạnh nổi bật về luyện kim đen 2023
7 tháng trước
#7
Top 8 mơ thấy có người to tình với mình 2023
7 tháng trước
#8
Top 6 nước yến cao cấp yến sào thiên hoàng 2023
7 tháng trước
#9
Top 7 ví dụ về quyết định hành chính nhà nước 2023
7 tháng trước

Quảng cáo

Xem Nhiều

Bảng thanh toán giá trị hoàn thành theo hợp đồng năm 2024
6 ngày trước . bởi OmnipresentVindication
Bài tập 2 trang 212 sgk hóa 11 năm 2024
4 ngày trước . bởi Cross-leggedBlackberry
De thi thử thpt quốc gia môn hóa năm 2024
3 ngày trước . bởi PrevailingConsultancy
Lỗi kết nối đàn với pc fkhoong thu âm được năm 2024
2 ngày trước . bởi UnlimitedRoadblock
Công thức trung bình mẫu ngẫu nhiên năm 2024
3 ngày trước . bởi MathematicalSpecs
365 ngày mỗi ngày một bài tập vui 120 năm 2024
21 giờ trước . bởi OverturnedPairing
Toán lớp 5 bài luyện tập trang 110 năm 2024
1 tuần trước . bởi HydraulicCouncilman
Giải bài 37 trang 22 sgk toán 7 tập 1 năm 2024
6 ngày trước . bởi UndevelopedFiring
M2 note sau khi cập nhật lỗi ứng dụng năm 2024
5 ngày trước . bởi SultryMaple
Cách giải bài toán hiệu suất tạo thành năm 2024
1 ngày trước . bởi NegligentConfidant

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội

DMCA.com Protection Status
Bản quyền © 2021 Hỏi Đáp Inc.