Đề bài
Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Vận dụng kiến thức : Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Tính chất đường trung bình: Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Giả sử hình thoi \[ABCD.\] Gọi \[E,\, F,\, G,\, H\] lần lượt là trung điểm của các cạnh \[AB,\, BC,\, CD,\, DA.\]
- Trong \[ ABC\] ta có:
\[E\] là trung điểm của \[AB\]
\[F\] là trung điểm của \[BC\]
nên \[EF\] là đường trung bình của tam giác \[ABC.\]
\[ EF // AC\] và \[EF =\] \[\displaystyle {1 \over 2}\]\[AC\] [tính chất đường trung bình của tam giác] [1]
- Trong \[ ADC\] ta có:
\[H\] là trung điểm của \[AD\]
\[G\] là trung điểm của \[CD\]
nên \[HG\] là đường trung bình của \[ ADC\]
\[ HG // AC\] và \[HG =\] \[\displaystyle{1 \over 2}\]\[AC\] [ tính chất đường trung bình của tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[EF // HG\] và \[EF = HG\]
Suy ra tứ giác \[EFGH\] là hình bình hành [vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau]
Mặt khác: \[AC BD\] [tính chất hình thoi]
\[EF // AC\] [chứng minh trên]
Suy ra: \[EF BD\]
Trong \[ ABD\] ta có:
\[E\] là trung điểm của \[AB\]
\[H\] là trung điểm của \[AD\]
nên \[EH\] là đường trung bình của\[ ABD\]
\[ EH // BD\] [tính chất đường trung bình của tam giác]
Suy ra: \[EH EF\]
Vậy hình bình hành \[EFGH\] là hình chữ nhật.