Đề bài
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác cân tại S và mp[SAB] vuông góc với mp[ABCD], cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy góc α. Tính:
a] Chiều cao của hình chóp S.ABCD;
b] Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến mặt phẳng [SCD];
c] Diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng trung trực của cạnh BC.
Lời giải chi tiết
a] Gọi H là trung điểm của AB thì \[SH \bot AB\], từ đó \[SH \bot \left[ {ABC{\rm{D}}} \right]\]. Vậy khoảng cách từ S đến mp[ABCD] là SH, đó là chiều cao của hình chóp.
Ta có \[SH = HC\tan \alpha \],
mặt khác \[H{C^2} = B{H^2} + B{C^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4}\].
hay \[HC = {{a\sqrt 5 } \over 2}\].
Vậy \[SH = {{a\sqrt 5 } \over 2}\tan \alpha \].
b] Gọi K là trung điểm của CD thì \[C{\rm{D}} \bot \left[ {SHK} \right]\], từ đó \[\left[ {SC{\rm{D}}} \right] \bot \left[ {SHK} \right]\]. Vậy nếu kẻ đường cao HI của tam giác SHK thì HI là khoảng cách từ H đến mp[SCD]. Ta có:
\[\eqalign{ & HI = {{H{\rm{S}}.HK} \over {SK}} = {{{{a\sqrt 5 } \over 2}\tan \alpha .a} \over {\sqrt {{{5{{\rm{a}}^2}} \over 4}{{\tan }^2}\alpha + {a^2}} }} \cr & = {{a\sqrt 5 \tan \alpha } \over {\sqrt {5{{\tan }^2}\alpha + 4} }} \cr} \]
c] Vì SH và CD cùng vuông góc với BC nên SH, CD song song với mặt phẳng trung trực [R] của BC. Khi đó:
\[\left[ R \right] \cap \left[ {ABC{\rm{D}}} \right] = MN\] với MN // CD và M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.
\[\left[ R \right] \cap \left[ {SHK} \right] = EF\], EF // SH, E là trung điểm của MN.
\[\left[ R \right] \cap \left[ {SC{\rm{D}}} \right] = PQ\], PQ đi qua điểm F và PQ // CD. Thiết diện MNPQ là hình thang cân.
Ta có
\[\eqalign{ & {S_{MNPQ}} = {1 \over 2}\left[ {MN + PQ} \right].EF \cr & = {1 \over 2}\left[ {a + {a \over 2}} \right].{{a\sqrt 5 } \over 4}\tan \alpha \cr & = {{3{a^2}\sqrt 5 } \over {16}}\tan \alpha \cr} \].