Đề bài
Cho ABC là tam giác cân có \[AB = AC = A,\widehat {BAC} = {120^0}\]. Điểm S thay đổi trong không gian nhưng luôn ở về một phía của mặt phẳng [ABC] và \[AS = a,\widehat {SAB} = {60^0}\].
a] Gọi H là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng [ABC]. Chứng minh rằng H thuộc đường thẳng cố định và S thuộc đường tròn cố định, tính bán kính đường tròn đó.
b] Chứng minh rằng khi độ dài SH đạt giá trị lớn nhất thì hai mặt phẳng [SAB] và [ABC] vuông góc với nhau và khi đó hãy tính độ dài SC.
c] Khi SBC là tam giác vuông tại S, hãy tính góc giữa hai đường thẳng SA với AC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng [SBC].
Lời giải chi tiết
a] Vì \[AB = a,SA = a,\widehat {SAB} = {60^0}\] nên SAB là tam giác đều, từ đó điểm S thuộc mặt phẳng trung trực [α] của AB và mặt phẳng [α] cố định, ngoài ra \[[\alpha ] \bot \left[ {ABC} \right]\]. Kí hiệu \[\Delta = \left[ \alpha \right] \cap \left[ {ABC} \right]\] thì cố định.
Do H là hình chiếu của S trên [ABC] nên H thuộc .
Vậy hình chiếu của S trên mặt phẳng [ABC] thuộc đường thẳng cố định nói trên.
Gọi I là trung điểm của AB ta có \[SI = {{a\sqrt 3 } \over 2}\], như vậy, điểm S thuộc đường tròn tâm I, bán kính \[{{a\sqrt 3 } \over 2}\], trong mặt phẳng [α] nói trên, tức là điểm S thuộc đường tròn cố định.
b] Ta có \[SH \le SI = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]. Như vậy giá trị lớn nhất của SH bằng \[{{a\sqrt 3 } \over 2}\] khi H trùng với điểm I.
Do \[SI \subset \left[ {SAB} \right]\] và \[I \equiv H,SH \bot \left[ {ABC} \right]\] nên \[\left[ {SAB} \right] \bot \left[ {ABC} \right]\] khi SH đạt giá trị lớn nhất
Khi đó \[S{C^2} = C{I^2} + S{I^2} = {\left[ {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right]^2} + C{I^2}\]
Mặt khác
\[\eqalign{ & C{I^2} = C{A^2} + A{I^2} - 2{\rm{A}}C.AI.\cos {120^0} \cr & = {a^2} + {{{a^2}} \over 4} + 2a.{a \over 2}.{1 \over 2} = {{7{a^2}} \over 4} \cr} \]
Từ đó \[S{C^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 4} + {{7{{\rm{a}}^2}} \over 4} = {{10{a^2}} \over 4}\]
hay \[SC = {{a\sqrt {10} } \over 2}\]
c] - Khi SBC là tam giác vuông tại điểm S thì hình chiếu của điểm A trên mp[SBC] là trung điểm K của BC.
Thật vậy, ta có \[AS = AC = AB\] nên \[K{\rm{S}} = KC = KB\] .
Do đó, AK là khoảng cách từ điểm A đến mp[SBC].
Dễ thấy \[AK = AC\cos {60^0} = {a \over 2}\]
- Vì \[BC = a\sqrt 3 ,SB = a\] nên \[SC = a\sqrt 2 \]
Mặt khác \[SA = AC = a\] nên \[S{C^2} = A{S^2} + A{C^2}\], tức là \[\widehat {SAC} = {90^0}\]
Như vậy, góc giữa hai đường thẳng SA và AC bằng 90°.