Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A, vẽ \[EC = EH + HC \Rightarrow EC = MI + MJ\] \[MI \bot AB\] [E thuộc AB]. Lấy M thuộc đoạn BC, vẽ \[MI \bot AB\] và \[MJ \bot AC\] [I thuộc AB, J thuộc AC]. Chứng minh \[MI + MJ = CE\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nối M với E,Kẻ \[MH \bot CE\]
Chứng minh MI=EH và MJ=HC
Lời giải chi tiết
Nối M với E. Ta có \[MI \bot AB\] [giả thiết]; \[CE \bot AB\] [giả thiết] \[\Rightarrow MI//CE\].
Do đó \[\widehat {EMI} = \widehat {MEC}\] [1] [cặp góc so le trong].
Kẻ \[MH \bot CE\],
Xét hai tam giác vuông MIE và EHM có:
+] ME chung
+]\[\widehat {EMI} = \widehat {MEC}\]
\[\Rightarrow \Delta MIE = \Delta EHM\] [g.c.g]
\[\Rightarrow MI = EH\] [cạnh tương ứng]
Mặt khác MH // AB [cùng vuông góc với EC]
\[ \Rightarrow \widehat {CMH} = \widehat {CBA} = \widehat {BCA}\] [2] [cặp góc đồng vị].
Xét hai tam giác vuông MHC và CJM có:
+] MC chung
+] \[ \widehat {CMH} = \widehat {BCA}\]
\[ \Rightarrow \Delta MHC = \Delta CJM\] [g.c.g].
Do đó \[MJ = HC\], mà \[EC = EH + HC \]
\[\Rightarrow EC = MI + MJ.\]