- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Giả sử \[{x_1},{x_2}\] là các nghiệm của phương trình \[2{x^2} - 11x + 13 = 0.\]
Hãy tính:
LG a
\[x_1^3 + x_2^3\] ;
Lời giải chi tiết:
Theo định lí Vi-ét ta có \[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \dfrac{{13}}{2}\] [dễ thấy hai nghiệm đều dương]. Do đó :
\[x_1^3 + x_2^3 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^3} - 3{x_1}{x_2}\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]\]
\[= {\left[ {\frac{{11}}{2}} \right]^3} - 3.\frac{{13}}{2}.\frac{{11}}{2} = \frac{{473}}{8}\]
LG b
\[x_1^4 + x_2^4\] ;
Lời giải chi tiết:
Theo định lí Vi-ét ta có \[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \dfrac{{13}}{2}\] [dễ thấy hai nghiệm đều dương]. Do đó :
\[x_1^4 + x_2^4 = {\left[ {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2x_1^2x_2^2 \]
\[= \frac{{3409}}{{16}}\]
LG c
\[x_1^4 - x_2^4\] ;
Lời giải chi tiết:
Theo định lí Vi-ét ta có \[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \dfrac{{13}}{2}\] [dễ thấy hai nghiệm đều dương]. Do đó :
\[x_1^4 - x_2^4 = \left[ {{x_1} - {x_2}} \right]\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]\left[ {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\]
Ta có :
\[{\left[ {{x_1} - {x_2}} \right]^2} = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 4{x_1}{x_2}\]
\[\Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}.\]
Giả sử \[{x_1} < {x_2},\] ta có :
\[{x_1} - {x_2} = - \dfrac{{\sqrt {17} }}{2}.\] Do đó \[x_1^4 - x_2^4 = - \dfrac{{759}}{{16}}\sqrt {17} .\]
Đối tượng trường hợp \[{x_1} > {x_2},\] ta có \[x_1^4 - x_2^4 = \dfrac{{759}}{{16}}\sqrt {17} .\]
LG d
\[\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\left[ {1 - x_2^2} \right] + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\left[ {1 - x_1^2} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Theo định lí Vi-ét ta có \[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2};{x_1}{x_2} = \dfrac{{13}}{2}\] [dễ thấy hai nghiệm đều dương]. Do đó :
\[ - \dfrac{{269}}{{26}}.\]
Gợi ý.
\[\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\left[ {1 - x_2^2} \right] + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\left[ {1 - x_1^2} \right] = \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}} - 2{x_1}{x_2}\]
\[= \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} - 2{x_1}{x_2}.\]