Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi
b. Tam giác DHE là tam giác gì ? Vì sao ?
c. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?
d. Chứng minh rằng BC = BD + CE.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nhẩm lại dấu hiệu nhận biết của các tứ giác đã học rồi chứng minh.
Hình thang có 1 góc vuông là hình thang vuông
Trong một tam giác có đường trung tuyến ứng với 1 cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông
Lời giải chi tiết
a] Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB
AB là đường trung trực của HD
AH = AD [tính chất đường trung trực] ADH cân tại A
Suy ra: AB là tia phân giác của \[\widehat {DAH} \Rightarrow \widehat {DAB} = {\widehat A_1}\]
Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC
AC là đường trung trực của HE
AH = AE [tính chất đường trung trực] AHE cân tại A
Suy ra: AC là đường phân giác của \[\widehat {HAE} \Rightarrow {\widehat A_2} = \widehat {EAC}\]
Ta có: \[\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE}\]\[ = 2\left[ {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_2}} \right] = {2.90^0} = {180^0}\]
Suy ra D, A, E thẳng hàng
Lại có: AD = AE [vì cùng bằng AH]
Nên điểm A là trung điểm của đoạn DE
Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
b] Tam giác DHE có HA là trung tuyến và \[AH =AD=AE= \displaystyle {1 \over 2}DE\]nên tam giác DHE vuông tại H.
c] Xét \[\Delta ADB\] và \[ \Delta AHB\] có:
+] AB chung
+] BD = BH [ vì AB là trung trực của DH]
+] AD = AH [vì AB là trung trực của DH]
\[\Rightarrow \Delta ADB = \Delta AHB\;[c.c.c]\]
\[ \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {ADB}=90^0\] [hai góc tương ứng]
\[ BD DE\]
Xét \[\Delta AEC\] và \[ \Delta AHC\] có:
+] AC chung
+] EC = HC [ vì AC là trung trực của EH]
+] AE = AH [vì AC là trung trực của EH]
\[\Rightarrow \Delta AEC = \Delta AHC\;[c.c.c]\]
\[ \Rightarrow \widehat {AHC} = \widehat {AEC}=90^0\] [hai góc tương ứng]
\[ EC DE \]
Suy ra BD//CE [vì cùng vuông góc với DE]
Do đó tứ giác BDEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE nên BDEC là hình thang vuông.
d] Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH [5]
Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH [6]
Cộng vế với vế của [5] và [6] ta có \[BD+CE=BH+CH\] hay \[BD+CE=BC\]