Đề bài
Tìm các số \[a, b, c\] biết rằng: \[\displaystyle {a \over 2} = {b \over 3} = {c \over 4}\]và \[{a^2} - {b^2} + 2{c^2} = 108\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\]
Lời giải chi tiết
Ta có \[\displaystyle {a \over 2} = {b \over 3} = {c \over 4} \Rightarrow {{{a^2}} \over 4} = {{{b^2}} \over 9} = {{{c^2}} \over {16}} \]
\[\displaystyle \Rightarrow {{{a^2}} \over 4} = {{{b^2}} \over 9} = {{2{c^2}} \over {32}}\]
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\[\displaystyle {{{a^2}} \over 4} = {{{b^2}} \over 9} = {{2{c^2}} \over {32}} = {{{a^2} - {b^2} + 2{c^2}} \over {4 - 9 + 32}} \]\[\,\displaystyle = {{108} \over {27}} = 4\]
Ta có:
\[\displaystyle {{{a^2}} \over 4} = 4 \Rightarrow {a^2} = 16 \Rightarrow a = 4\]hoặc \[a = -4\]
\[\displaystyle {{{b^2}} \over 9} = 4 \Rightarrow {b^2} = 36 \Rightarrow b = 6\]hoặc \[b = -6\]
\[\displaystyle {{2{c^2}} \over {32}} = 4 \Rightarrow {c^2} = 64 \Rightarrow c = 8\]hoặc \[c = -8\].
Mà\[\displaystyle{a \over 2} = {b \over 3} = {c \over 4}\] nên \[a,b,c\] cùng dấu.
Vậy ta tìm được các số:
\[{{\rm{a}}_1} = 4;{b_1} = 6;{c_1} = 8\]
\[{{\rm{a}}_2} = - 4;{b_2} = - 6;{c_2} = - 8\]